Неопределенный интеграл. Руцкова И.Г. - 20 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ОГУ | Оренбург

Составители: 

Рубрика: 

Пример 4.13 Найти
∫
⋅
dx
xcosxsin
1
22
.
Решение.
.XZn,n
2
:X ,Cctgxtgx
dx
xsin
1
xcos
1
dx
xcosxsin
xcosxsin
dx
xcosxsin
1
2222
22
22
∉
∈⋅
π
∀+−=
=
+=
⋅
+
=
⋅
∫∫∫
Ответ: .XZn,n
2
:X ,Cctgxtgx ∉
∈⋅
π
∀+−
Пример 4. 14 Найти
∫
−
.dx
xsinxcos
x2cos
Решение.
В данном случае имеет смысл применить формулу:
.sincos2cos
22
α
−
α
=
α
Действительно,
=
−
+⋅−
=
−
−
=
−
∫∫∫
dx
xsinxcos
)xsinx(cos)xsinx(cos
dx
xsinxcos
xsinxcos
dx
xsinxcos
x2cos
22
()
X. Zn ,n
4
:X ,Cxcosxsindxxsinxcos ∉
∈⋅π+
π
∀+−=+=
∫
Ответ: X. Zn,n
4
:X ,Cxcosx ∉
∈⋅π+
π
∀+−
sin
Пример 4.15 Найти
∫
.dx
2
x
sin2
2
Решение.
Для вычисления данного интеграла применим формулу:
α
−
=
α
2cos1sin2
2
.
20
                                                1
     Пример 4.13        Найти     ∫ sin 2 x ⋅ cos 2 x dx .

     Решение.

                1                 sin 2 x + cos 2 x       1          1 
       ∫ sin 2 x ⋅ cos 2 x
                         dx = ∫
                                sin 2 x ⋅ cos 2 x
                                                  dx = ∫  cos 2 x sin 2 x dx =
                                                                 +

                                     π             
         = tgx − ctgx + C, ∀ X :  ⋅ n , n ∈ Z ∉ X.
                                     2             
                                              π            
     Ответ:         tgx − ctgx + C, ∀ X :  ⋅ n , n ∈ Z ∉ X.
                                              2            


                                            cos 2 x
     Пример 4. 14        Найти       ∫ cos x − sin x dx.
     Решение.

     В данном случае имеет смысл применить формулу:

                                    cos 2α = cos 2 α − sin 2 α .
     Действительно,

          cos 2 x         cos 2 x − sin 2 x     (cos x − sin x ) ⋅ (cos x + sin x )
     ∫ cos x − sin xdx = ∫ cos x − sin x dx = ∫          cos x − sin x
                                                                                    dx =


                                                       π               
     = ∫ (cos x + sin x )dx = sin x − cos x + C, ∀ X :  + π ⋅ n , n ∈ Z ∉ X.
                                                       4               

                                     π              
     Ответ: sin x − cos x + C, ∀ X :  + π ⋅ n, n ∈ Z ∉ X.
                                     4              

                                                x
                                  ∫ 2 sin
                                            2
     Пример 4.15 Найти                            dx.
                                                2

     Решение.

     Для вычисления данного интеграла применим формулу:

                                       2 sin 2 α = 1 − cos 2α .

20

Страницы