Неопределенный интеграл. Руцкова И.Г. - 22 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ОГУ | Оренбург

Составители: 

Рубрика: 

=+
⋅−
⋅=
⋅−
⋅=
∫
C
)2/1ln(
2
1
5
1
)5/1ln(
5
1
2dx
2
1
5
1
5
1
2
xx
xx
R. X :X ,C
5ln5
2
2ln25
1
xx
⊂∀+
⋅
−
⋅⋅
=
Замечание.
Для решения рассмотренных выше примеров было
достаточно воспользоваться известными из курса школьной математики
формулами сокращённого умножения и формулами связи
тригонометрических функции одного и того же угла. Иногда, прежде чем
применять эти формулы приходится предварительно сделать под
интегралом
искусственное преобразование.
Пример 4.19
Найти
∫
−
.dx
x1
x
2
2
Решение.
(
)
{}
.X1 ;1 :X ,Cx
x1
x1
ln
2
1
dx1
x1
1
dx
x1
x11
dx
x1
11x
dx
x1
x
22
2
2
2
2
2
∉−∀+−
−
+
=
=
−
−
=
−
−−
=
−
+−
=
−
∫∫∫∫
Ответ: X. 1} {-1, :X ,Cx
x1
x1
ln
2
1
∉∀+−
−
+
Пример 4.20 Найти
∫
−
.dx
1x
1
4
Решение.
∫∫ ∫ ∫
=
+⋅−
−++
⋅=
+⋅−
+
⋅=
−
⋅=
−
dx
)1x()1x(
)x1()x1(
2
1
dx
)1x()1x(
11
2
1
dx
1x
2
2
1
dx
1x
1
22
22
2244
22
                                                                   x       x
                                       1           1
             1                                   
                      1  1  
                    x          x
                                       5      1 2
         = ∫ 2 ⋅   − ⋅   dx = 2 ⋅           − ⋅            +C=
             5     5   2        ln(1 / 5)  5  ln(1 / 2 )
                                

                   1                  2
         =                    −                + C, ∀ X : X ⊂ R.
             5 ⋅ 2 x ⋅ ln 2       5 x ⋅ ln 5


     Замечание. Для решения рассмотренных выше примеров было
достаточно воспользоваться известными из курса школьной математики
формулами     сокращённого     умножения    и    формулами     связи
тригонометрических функции одного и того же угла. Иногда, прежде чем
применять эти формулы приходится предварительно сделать под
интегралом искусственное преобразование.

                                                  x2
         Пример 4.19 Найти                     ∫ 1 − x 2 dx.
         Решение.

                 x2          x2 −1 + 1      1 − 1 − x2         (
                                                              1       )   
             ∫ 1 − x 2 dx = ∫ 1 − x 2 dx = ∫ 1 − x 2 dx = ∫  1 − x 2 − 1dx =

               1 1+ x
              = ln    − x + C, ∀ X :                     {− 1; 1}∉ X.
               2 1− x


                        1 1+ x
         Ответ:          ln    − x + C, ∀ X : {-1, 1}∉ X.
                        2 1− x


                                                  1
         Пример 4.20 Найти                 ∫ x 4 − 1 dx.
         Решение.

     1           1      2           1          1+1                   1 (1 + x 2 ) + (1 − x 2 )
∫ x 4 − 1 dx = ∫ 2 ⋅ x 4 − 1 dx = ∫ 2 ⋅ (x 2 − 1) ⋅ (x 2 + 1) dx = ∫ 2 ⋅ (x 2 − 1) ⋅ ( x 2 + 1) dx =


22

Страницы