Неопределенный интеграл. Руцкова И.Г. - 24 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ОГУ | Оренбург

Составители: 

Рубрика: 

4.2 Метод подведения под знак дифференциала
В основе этого метода лежит следующая теорема.
Теорема 4.2
Пусть функции f(x) и
)
x
(
ϕ
определены на интервалах U и X
соответственно;
U
X: →
ϕ
и
(
)
(
)
XDx
∈
ϕ
.
Тогда, если f(u) имеет первообразную F(u) на
U
, т.е.
() ()
∫
∈+= RC,CuFduuf ,
то функция
()(
x)x(f
)
ϕ
ϕ
′
⋅
имеет первообразную
(
)
)x(F
ϕ
на Х, т.е.
()() ()
∫
∈+=
′
⋅ RC,C)x(Fdxx)x(f
ϕϕϕ
.
Доказательство.
Заметим, что сложные функции f(ϕ(x)) и F(ϕ(x)) имеют смысл, т.к. по
условию функции f(u), F(u) определены на U, а функция ϕ(x) на Х
и ϕ: X → U (мы фактически предполагаем, что )х(u
=
).
() ( )
(
)
() ( )
⇒
∈ϕ
∈
теоремыусловию поXDx
uf функции наяпервообраз это т.к.,UDuF
F(ϕ(x)) ∈ D(X),
причём
()() ()() () ( )
)x()x(fuufuuFxu)x(F ϕ
′
⋅ϕ=
′
⋅=
′
⋅
′
=ϕ==
′
ϕ на Х.
Таким образом, F(ϕ(x)) является первообразной для f(ϕ(x))⋅ϕ′(x) на Х.
Замечание. Символически данная теорема может быть записана так:
()() ()()
(
)
() ()
()
RC ,C)x(F
CuFduuf
xu
xd)x(fdxx)x(f ∈+ϕ=
+=
=
=ϕϕ=ϕ
′
⋅ϕ
∫
∫∫
Заметим, что
переход от первого интеграла ко второму совершен
методом подведения функции
)х(
под знак дифференциала. Именно эта
процедура и дала название методу.
24
     4.2 Метод подведения под знак дифференциала


     В основе этого метода лежит следующая теорема.

     Теорема 4.2
     Пусть функции f(x) и ϕ ( x ) определены на интервалах U и X
соответственно;       ϕ : X →U и      ϕ ( x ) ∈ D( X ) .
     Тогда, если f(u) имеет первообразную F(u) на U , т.е.

     ∫ f (u )du = F (u ) + C , C ∈ R ,
то функция       f (ϕ ( x )) ⋅ ϕ ′( x ) имеет первообразную F (ϕ ( x )) на Х, т.е.


     ∫ f (ϕ ( x )) ⋅ ϕ ′(x )dx = F (ϕ ( x )) + C , C ∈ R .
     Доказательство.

     Заметим, что сложные функции f(ϕ(x)) и F(ϕ(x)) имеют смысл, т.к. по
условию функции f(u), F(u) определены на U, а функция ϕ(x) на Х
и ϕ: X → U (мы фактически предполагаем, что u = ϕ( х ) ).

     F(u ) ∈ D(U ), т.к. это первообразная функции f (u )
                                                          ⇒ F(ϕ(x)) ∈ D(X),
     ϕ(x ) ∈ D(X ) по условию теоремы                    

     причём (F(ϕ( x ) ))′ = u = ϕ(x ) = F′(u ) ⋅ u ′ = f (u ) ⋅ u ′ = f (ϕ( x ) ) ⋅ ϕ′( x )   на Х.

     Таким образом, F(ϕ(x)) является первообразной для f(ϕ(x))⋅ϕ′(x) на Х.


     Замечание. Символически данная теорема может быть записана так:

                                                           u = ϕ(x )
     ∫ f (ϕ(x ) ) ⋅ ϕ′(x )dx = ∫ f (ϕ(x ) )dϕ(x ) =                            = F(ϕ( x ) ) + C, C ∈ R
                                                      ∫ f (u )du = F(u ) + C

     Заметим, что переход от первого интеграла ко второму совершен
методом подведения функции ϕ( х ) под знак дифференциала. Именно эта
процедура и дала название методу.


24

Страницы