ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
4.2 Метод подведения под знак дифференциала
В основе этого метода лежит следующая теорема.
Теорема 4.2
Пусть функции f(x) и
)
x
(
ϕ
определены на интервалах U и X
соответственно;
U
X: →
ϕ
и
(
)
(
)
XDx
∈
ϕ
.
Тогда, если f(u) имеет первообразную F(u) на
U
, т.е.
() ()
∫
∈+= RC,CuFduuf ,
то функция
()(
x)x(f
)
ϕ
ϕ
′
⋅
имеет первообразную
(
)
)x(F
ϕ
на Х, т.е.
()() ()
∫
∈+=
′
⋅ RC,C)x(Fdxx)x(f
ϕϕϕ
.
Доказательство.
Заметим, что сложные функции f(ϕ(x)) и F(ϕ(x)) имеют смысл, т.к. по
условию функции f(u), F(u) определены на U, а функция ϕ(x) на Х
и ϕ: X → U (мы фактически предполагаем, что )х(u
ϕ
=
).
() ( )
(
)
() ( )
⇒
∈ϕ
∈
теоремыусловию поXDx
uf функции наяпервообраз это т.к.,UDuF
F(ϕ(x)) ∈ D(X),
причём
()() ()() () ( )
)x()x(fuufuuFxu)x(F ϕ
′
⋅ϕ=
′
⋅=
′
⋅
′
=ϕ==
′
ϕ на Х.
Таким образом, F(ϕ(x)) является первообразной для f(ϕ(x))⋅ϕ′(x) на Х.
Замечание. Символически данная теорема может быть записана так:
()() ()()
(
)
() ()
()
RC ,C)x(F
CuFduuf
xu
xd)x(fdxx)x(f ∈+ϕ=
+=
ϕ
=
=ϕϕ=ϕ
′
⋅ϕ
∫
∫∫
Заметим, что
переход от первого интеграла ко второму совершен
методом подведения функции
)х(
ϕ
под знак дифференциала. Именно эта
процедура и дала название методу.
24
4.2 Метод подведения под знак дифференциала В основе этого метода лежит следующая теорема. Теорема 4.2 Пусть функции f(x) и ϕ ( x ) определены на интервалах U и X соответственно; ϕ : X →U и ϕ ( x ) ∈ D( X ) . Тогда, если f(u) имеет первообразную F(u) на U , т.е. ∫ f (u )du = F (u ) + C , C ∈ R , то функция f (ϕ ( x )) ⋅ ϕ ′( x ) имеет первообразную F (ϕ ( x )) на Х, т.е. ∫ f (ϕ ( x )) ⋅ ϕ ′(x )dx = F (ϕ ( x )) + C , C ∈ R . Доказательство. Заметим, что сложные функции f(ϕ(x)) и F(ϕ(x)) имеют смысл, т.к. по условию функции f(u), F(u) определены на U, а функция ϕ(x) на Х и ϕ: X → U (мы фактически предполагаем, что u = ϕ( х ) ). F(u ) ∈ D(U ), т.к. это первообразная функции f (u ) ⇒ F(ϕ(x)) ∈ D(X), ϕ(x ) ∈ D(X ) по условию теоремы причём (F(ϕ( x ) ))′ = u = ϕ(x ) = F′(u ) ⋅ u ′ = f (u ) ⋅ u ′ = f (ϕ( x ) ) ⋅ ϕ′( x ) на Х. Таким образом, F(ϕ(x)) является первообразной для f(ϕ(x))⋅ϕ′(x) на Х. Замечание. Символически данная теорема может быть записана так: u = ϕ(x ) ∫ f (ϕ(x ) ) ⋅ ϕ′(x )dx = ∫ f (ϕ(x ) )dϕ(x ) = = F(ϕ( x ) ) + C, C ∈ R ∫ f (u )du = F(u ) + C Заметим, что переход от первого интеграла ко второму совершен методом подведения функции ϕ( х ) под знак дифференциала. Именно эта процедура и дала название методу. 24
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 22
- 23
- 24
- 25
- 26
- …
- следующая ›
- последняя »