Неопределенный интеграл. Руцкова И.Г. - 26 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ОГУ | Оренбург

Составители: 

Рубрика: 

11.
RX :X ,1xxlnddx
1x
1
2
2
⊂∀
++=
+
.
)(1,(-1,1),-1)(- X : X ,1xxlnddx
1x
1
2
2
+∞∪∪∞⊂∀
−+=
−
.
12.
{}
X1;1 :X ,
x1
x1
lnd
2
1
x1
x1
ln
2
1
ddx
x1
1
2
∉−∀
−
+
=
−
+
=
−
.
13.
(
)
RX :X ,chxdshxdx ⊂∀= .
14.
(
)
RX :X ,shxd ⊂∀=chxdx .
15.
()
R. X :X ,thxddx
xch
1
2
⊂∀=
16.
()
X0 :X ,cthxddx
xsh
1
2
∉∀−=
.
Доказательство.
Результаты данной теоремы легко следуют из правила нахождения
дифференциала функции:
dx)x(f)x(df
′
=
и таблицы производных. (Проверьте самостоятельно!)
Замечание. Обратите внимание на тот факт, что данная таблица легко
может быть выписана, если пользоваться соответствующей таблицей
интегралов. (У нас даже нумерация формул совпадает!). Подынтегральное
выражение совпадает с дифференциалом от функции, стоящей в правой части
формулы. (Этот факт нами был доказан в теореме 2.1) Поэтому иногда
употребляют такую фразу:
«Чтобы ввести функцию под знак дифференциала достаточно найти её
первообразную».
При этом, обычно выбирают ту первообразную, у которой С=0, т.е.
чтобы она имела наиболее простой вид. Но это не обязательно, всё зависит от
конкретного примера.
Теперь мы готовы к отработке этого метода. Ещё раз напоминаем
главную идею:
26
                     1
     11.           dx = d  ln x + x 2 + 1  , ∀ X : X ⊂ R .
              x +1   2                      

                 1
                    dx = d  ln x + x 2 − 1  ,     ∀ X : X ⊂ (-∞ ,-1) ∪ (-1,1) ∪ (1,+∞ ) .
             x2 − 1                          

                 1       1 1+ x  1  1+ x 
     12.          dx = d  ln        = d  ln        , ∀ X : {− 1;1}∉ X .
           1 − x2         2  1 − x   2      1 − x 

     13. shxdx = d (chx ), ∀ X : X ⊂ R .

     14. chxdx = d (shx ), ∀ X : X ⊂ R .

                 1
     15.                  dx = d (thx ), ∀ X : X ⊂ R.
            ch 2 x

             1
     16.                 dx = d (− cthx ), ∀ X : 0 ∉ X .
           sh 2 x

     Доказательство.

    Результаты данной теоремы легко следуют из правила нахождения
дифференциала функции:

     df ( x ) = f ′( x )dx и таблицы производных. (Проверьте самостоятельно!)


     Замечание. Обратите внимание на тот факт, что данная таблица легко
может быть выписана, если пользоваться соответствующей таблицей
интегралов. (У нас даже нумерация формул совпадает!). Подынтегральное
выражение совпадает с дифференциалом от функции, стоящей в правой части
формулы. (Этот факт нами был доказан в теореме 2.1) Поэтому иногда
употребляют такую фразу:
     «Чтобы ввести функцию под знак дифференциала достаточно найти её
первообразную».
     При этом, обычно выбирают ту первообразную, у которой С=0, т.е.
чтобы она имела наиболее простой вид. Но это не обязательно, всё зависит от
конкретного примера.

     Теперь мы готовы к отработке этого метода. Ещё раз напоминаем
главную идею:


26

Страницы