Неопределенный интеграл. Руцкова И.Г. - 27 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ОГУ | Оренбург

Составители: 

Рубрика: 

нужно увидеть в составе подынтегрального выражения функцию и её
производную и, если это возможно, ввести производную под знак
дифференциала, затем поискать в таблице интегралов подходящую формулу,
рассматривая функцию (производную которой вводили под знак
дифференциала) как новую (промежуточную) переменную.
Пример 4.21 Найти
∫
⋅ dx
x
1
)x(ln
4
.
() ()()
()
.RX ,C
5
xln
C
5
u
duu
xlnu
xlndxlndx
x
1
xln
5
5
4
44
+
⊂∀+=
+=
=
==⋅
∫∫
∫
Ответ:
+
⊂∀+ RX :X ,C
5
)x(ln
5
.
Пример 4.22 Найти
xdxcosxsin ⋅
∫
.
Решение.
()
()
C
23
xsin
C
23
u
duu
xsinu
xsindxsinxdxcosxsin
23
23
21
+=
+=
=
=⋅=⋅
∫
∫
∫
Ответ: X x0,sinx :X ,Cxsin
3
2
3
∈>∀+ .
Пример 4.23 Найти
dx
x1
1
)x(arcsin
1
2
3
−
⋅
∫
.
Решение.
()
()()
=
+
−
=
=
==
−
⋅
∫
∫∫
−
−
−
C
2
u
duu
xarcsinu
xarcsindxarcsindx
x1
1
xarcsin
1
2
3
3
2
3
27
     нужно увидеть в составе подынтегрального выражения функцию и её
производную и, если это возможно, ввести производную под знак
дифференциала, затем поискать в таблице интегралов подходящую формулу,
рассматривая функцию (производную которой вводили под знак
дифференциала) как новую (промежуточную) переменную.


                                                    1
     Пример 4.21 Найти ∫ (ln x ) 4 ⋅                  dx .
                                                    x

                                                    u = ln x
                       1                                           (ln x )5

      ∫ (ln x )       ⋅ dx = ∫ (ln x ) d(ln x ) =
                  4                   4
                                                             u5  =          + C, ∀ X ⊂ R + .
                                                  ∫ u du = 5 + C
                       x                             4                 5


            (ln x ) 5
     Ответ:           + C, ∀ X : X ⊂ R + .
               5


     Пример 4.22 Найти                 ∫   sin x ⋅ cos xdx .

     Решение.

                                                                   u = sin x
                                                                                              (sin x )3 2
     ∫ sin x ⋅ cos xdx = ∫ sin x ⋅ d(sin x ) =                                  32
                                                                                u           =               +C
                                                          ∫u
                                                                   12
                                                                        du =       +C            32
                                                                                32

                       2
     Ответ:              sin 3 x + C, ∀ X : sinx > 0, x ∈ X .
                       3


                                             1                 1
     Пример 4.23 Найти                ∫ (arcsin x ) 3 ⋅             2
                                                                         dx .
                                                          1− x

     Решение.

                                                                                      u = arcsin x
            1                1
     ∫ (arcsin x )3 ⋅                 dx = ∫ (arcsin x ) d(arcsin x ) =
                                                          −3
                                                                                       −3     u −2     =
                           1− x   2
                                                                                     ∫ u du =
                                                                                              −2
                                                                                                   + C




                                                                                                                 27

Страницы