Неопределенный интеграл. Руцкова И.Г. - 28 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ОГУ | Оренбург

Составители: 

Рубрика: 

()
).1 ,1(X :X ,C
)x(arcsin2
1
Cxarcsin
2
1
2
2
−⊂∀+−=+
−
=
−
Ответ: ).1 ,1(X :X ,C
)x(arcsin2
1
2
−⊂∀+−
Пример 4.24 Найти
()
∫
+
⋅ dx
x1
1
arctgx
2
2
.
Решение.
() ()()
()
.RX
,C
3
arctgx
C
3
u
duu
arctgxu
arctgxdarctgxdx
x1
1
arctgx
3
3
2
2
2
2
⊂∀
+=
+=
=
==
+
⋅
∫∫
∫
Ответ:
()
,C
3
arctgx
3
+ ∀ X : X ⊂ R.
Пример 4.25 Найти .
∫
dx)esin(e
xx
Решение.
.RX ,C)ecos(
Cucosudusin
eu
de)esin(dx)esin(e
x
x
xxxx
⊂∀+−=
+−=
=
==
∫
∫
∫
Ответ: . RX :X ,C)ecos(
x
⊂∀+−
Пример 4.26 Найти
∫
dx
xlnx
1
.
Решение.
()
,Cxlnln
Culndu
u
1
xlnu
xlnd
xln
1
dx
x
1
xln
1
dx
xlnx
1
+=
+=
=
==⋅=
∫∫ ∫
∫
28
         1                             1
     =      (arcsin x )−2 + C = −                + C, ∀ X : X ⊂ (−1, 1).
         −2                       2(arcsin x ) 2

                                     1
     Ответ:                −                    + C, ∀ X : X ⊂ (−1, 1).
                               2(arcsin x ) 2


                                                                        1
                                         ∫ (arctgx )
                                                          2
     Пример 4.24 Найти                                         ⋅            dx .
                                                                   1+ x2

     Решение.

                                                                                    u = arctgx
                               1                                                                        (arctgx )3
     ∫ (arctgx )                    dx = ∫ (arctgx ) d(arctgx ) =
                   2                                       2
                       ⋅                                                                      u3    =                + C,
                                                                                   ∫ u du =
                                                                                      2
                           1+ x2                                                                 +C         3
                                                                                               3
     ∀X ⊂ R.

                       (arctgx )3
     Ответ:                           + C, ∀ X : X ⊂ R.
                               3


                                              ∫e
                                                   x
     Пример 4.25                Найти                  sin(e x )dx .

     Решение.

                                                              u = ex
     ∫e       sin(e )dx = ∫ sin(e )de =
          x        x                     x      x
                                                                                          = − cos(e x ) + C, ∀X ⊂ R.
                                                         ∫ sin udu = − cos u + C
     Ответ: − cos(e x ) + C, ∀ X : X ⊂ R .


                                                 1
     Пример 4.26 Найти                       ∫ x ln x dx            .


     Решение.

                                                                              u = ln x
          1           1 1           1
     ∫ x ln x dx = ∫ ln x x
                         ⋅  dx = ∫ ln x d(ln x ) =                           1               = ln ln x + C,
                                                                            ∫u du = ln u + C


28

Страницы