Неопределенный интеграл. Руцкова И.Г. - 9 стр.

         2 этап. Предположим, что формула справедлива при n=k, т.е.

           k                    k
         ∫ ∑ α i f i (x )dx = ∑ α i ∫ f i (x )dx + C1 ,   C1 ∈ R ; ∀ α i ∈ R (α i ≠ 0 ), i = 1, k .
          i =1                 i =1


         3 этап. Покажем, что в этом случае она остаётся верной и при n=k+1.
                                                                        k
         Введём вспомогательную функцию g(x ) = ∑ α i f i (x ) . Из теоремы                           2.1
                                                                       i =1
следует, что

 k +1
∫ ∑ α i f i (x )dx = ∫ (g(x ) + α k +1f k +1 (x ) )dx = ∫ g(x )dx + α k +1 ∫ f k +1 (x )dx + C 2 , C 2 ∈ R
  i =1


         Согласно предположению,

                         k                   k
         ∫ g(x )dx = ∫ ∑ α i f i ( x )dx = ∑ α i ∫ f i (x )dx + C1 .
                        i =1                i =1


         Следовательно,

          k +1                   k
         ∫ ∑ α i f i (x )dx = ∑ α i ∫ f i (x )dx + C1 + α k +1 ∫ f k +1 (x )dx + C 2 .
           i =1                 i =1



          k +1                 k +1
         ∫ ∑ α i f i (x )dx = ∑ α i ∫ f i (x )dx + С , где C = C1 + C 2 .
          i =1                 i =1


         Т.е. формула остаётся справедливой при любом n.

     Замечание. Следует иметь в виду, что всякое равенство, в обеих частях
которого стоят неопределённые интегралы, есть равенство между
множествами.

      Определение 2.2
      Операцию нахождения первообразной для функции f(x) или
неопределённого интеграла от функции называют интегрированием функции
f(x).

     Замечание. Если первообразная некоторой функции является
элементарной функцией, то говорят, что интеграл выражается через
элементарные функции, то есть вычисляется (берется).

                                                                                                         9