Неопределенный интеграл. Руцкова И.Г. - 8 стр.

     2) Следует из правила нахождения дифференциала функции и
определений 1.1 и 2.1:

       F(x ) ∈ D(X ) ⇒ dF(x ) = F′(x )dx , ∀x ∈ X .

     3)
          (k ∫ f (x )dx )′ = k (∫ f (x )dx )′ = k ⋅ f (x ) ,
т.е. любая из функций                    k ∫ f (x )dx          является первообразной для функции
k ⋅ f (x ), следовательно, формула справедлива.

      4)
            (∫ f (x)dx + ∫ g(x)dx )′ = (∫ f (x )dx )′ + (∫ g(x )dx )′ = f (x ) + g(x ) ,
      т.е. сумма любых двух функций из множеств                                 {∫ f (x )dx} и {∫ g(x )dx}
является первообразной для функции f (x ) + g(x ) , следовательно, формула
справедлива.


      Следствие 2.1
            n                   n
       ∫ ∑ α i f i (x )dx =∑ α i ∫ f i ( x )dx + C ,           C ∈ R; ∀α i ∈ R , i = 1, n и α i ≠ 0 .
           i =1                i =1


      Доказательство.

     Доказательство данного утверждения можно провести двумя
способами:
     либо применяя методику доказательства свойств 3) - 4);
     либо методом математической индукции.
     Рассмотрим     доказательство    данной     теоремы    методом
математической индукции. (Другой способ попробуйте применить
самостоятельно).

     1 этап (основание для проведения индукции).
     Докажем справедливость формулы при n = 2 . Заметим,                                                что
справедливость формулы при n = 1 следует из свойства 3.
     Очевидно, что
                                    (                  ′
                                                                      )
                      α1 ∫ f1 (x )dx + α 2 ∫ f 2 (x )dx = α1f1 (x ) + α 2 f 2 (x ) ;
          следовательно, утверждение имеет место.


8