Неопределенный интеграл. Руцкова И.Г. - 7 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ОГУ | Оренбург

Составители: 

Рубрика: 

2 Неопределённый интеграл: определение, свойства
Определение 2.1
Совокупность всех первообразных для функции
(
)
xf на Х называется
неопределённым интегралом от функции
(
)
xf на интервале Х.
Обозначение:
()
()
=
∫
Хнаxf для
ныхпервообраз
всех Множество
dxxf.
Здесь
- знак интеграла, f(x) называется подынтегральной функцией, а
подынтегральным выражением.
∫
()
dxxf
Замечание. Символ
(
)
∫
dxxf употребляется также для обозначения
любой первообразной для функции на интервале Х. В этом случае, если F(x)
одна из первообразных для f(x)
на Х, то справедлива формула:
()
(
)
∫
∈+= RC,CxFdxxf .
Мы будем использовать символ именно с такой целью.
Теорема 2.1 (Свойства неопределённого интеграла)
1) а) ;
()
()
()
Xx ,xfdxxf ∈∀=
′
∫
б)
()
(
)
()
Xx,dxxfdxxfd ∈∀=
∫
.
2) Если
() ( )
XDxF
∈
, то
(
)
(
)
∫
+= CxFxdF ,
R
C
∈
.
3)
() ()
(
)
∫∫
∈+=≠∈ RC,Cdxxfkdxxkf,0k Rk ∀ .
4)
()()
(
)
∫∫∫
∈++=+ RC,Cdxxgdxxfdx)x(g)x(f .
Доказательство.
1) а) Следует из определения 2.1.
б) Следует из правила вычисления дифференциала функции и
определения 2.1
7
     2 Неопределённый интеграл: определение, свойства



     Определение 2.1
     Совокупность всех первообразных для функции f ( x ) на Х называется
неопределённым интегралом от функции f ( x ) на интервале Х.


                                           Множество всех 
                                                            
       Обозначение:        ∫   f ( x )dx = первообразных  .
                                           для f ( x ) на Х 
                                                            

       Здесь   ∫   - знак интеграла, f(x) называется подынтегральной функцией, а
f ( x )dx подынтегральным выражением.

       Замечание. Символ             ∫ f (x )dx   употребляется также для обозначения
любой первообразной для функции на интервале Х. В этом случае, если F(x)
одна из первообразных для f(x) на Х, то справедлива формула:

                                 ∫ f (x )dx = F (x ) + C , C ∈ R .
     Мы будем использовать символ именно с такой целью.

     Теорема 2.1 (Свойства неопределённого интеграла)

     1) а)     (∫ f (x )dx )′ = f (x ), ∀ x ∈ X ;
          б)    d (∫ f ( x )dx ) = f ( x )dx , ∀x ∈ X .
     2) Если F ( x ) ∈ D( X ) , то ∫ dF ( x ) = F ( x ) + C , C ∈ R .

     3) ∀ k ∈ R (k ≠ 0 ),        ∫ kf (x )dx = k ∫ f (x )dx + C ,    C∈R.
     4) ∫ ( f ( x ) + g ( x ))dx = ∫ f ( x )dx + ∫ g ( x )dx + C ,   C∈R.

     Доказательство.

     1)  а) Следует из определения 2.1.
        б) Следует из правила вычисления дифференциала функции и
     определения 2.1


                                                                                    7

Страницы