Неопределенный интеграл. Руцкова И.Г. - 5 стр.

      1 Первообразная: определение и простейшие свойства

      Обозначим символом Х один из интервалов вида (a, b), (-∞, a), (b,+∞),
(-∞, +∞);    a, b∈ R.

      Пусть функция f(x) определена на интервале Х.

      Определение 1. 1
      Функция F(x) называется первообразной для функции f(x) на Х, если
      1) F(x) дифференцируема на X, т.е. F(x) ∈D (X);
      2) F ′( x ) = f ( x ) ,∀ x ∈ X.

                                               x2             x2                x2 +1
       Например,        функции      F1 (x ) =    , F2 (x ) =    + 5, F3 (x ) =
                                                2             2                   2
являются первообразными для функции f (x ) = x на (-∞, +∞), а функция
                                                            1
F(x ) = ln x является первообразной для функции f (x ) = на (0,+∞).
                                                            x

      Теорема 1.1
      Если F(x) является первообразной для функции f(x) на Х, то ∀ С∈ R
      функция Ф(x)=F(x)+C - первообразная для f(x) на Х.

      Доказательство.

       Нетрудно доказать, что функция Ф(х) удовлетворяет условиям
определения 1.1. Действительно,

        F(x ) ∈ D(X )
                       ⇒ Ф(x ) ∈ D(X );
        C ∈ D(X ) 
        Ф ′(x ) = (F(x ) + C )′ = F′(x ) + C ′ = f (x ).

      Теорема 1.2
      Если F1 ( x ) и F2 ( x ) являются первообразными для f(x) на Х, то ∃ C ∈ R :
      F1 (x) –F2 (x)=C, ∀ x ∈ X.

      Доказательство.

      Введём новую вспомогательную функцию Ф(x ) = F1 (x ) − F2 (x ) . Заметим,
что




                                                                                     5