Неопределенный интеграл. Руцкова И.Г. - 6 стр.

      F1 (x ) ∈ D(X ) 
                       ⇒ Ф(x ) ∈ D(X ) ;
      F2 (x ) ∈ D(X )

        Ф ′(x ) = (F1 (x ) − F2 (x ))′ = F1′ (x ) − F2′ (x ) = f (x ) − f (x ) = 0, ∀x ∈ X .

     Следовательно, согласно следствию из теоремы Лагранжа (см. Раздел
«Дифференциальное исчисление», свойства дифференцируемых функций):

        ∃C ∈ R : Ф(x ) = C, ∀x ∈ X ⇒ F1 (x ) − F2 (x ) = C, ∀x ∈ X .

      Замечание. Из теорем 1.1 и 1.2 можно получить следующий вывод:
      если F(x) –первообразная для функции f(x) на Х, то любая другая
первообразная Ф(х) может быть представлена в виде Ф( x ) = F ( x ) + C , где
C ∈ R . Придавая постоянной С различные значения, мы можем получить все
первообразные.

     В некоторых учебниках дают другое определение первообразной.
Например, в /7/ стр. 378 под Х понимают конечный или бесконечный
промежуток и определение вводят иначе (смотри определение 1.2).

      Определение 1.2
      Функция F(x), определённая на промежутке Х, называется
первообразной функцией для функции f(x) на Х, если:
      1) F ( x ) ∈ C ( X );
      2) во всех внутренних точках промежутка Х функция F(x) имеет
производную и F ′( x ) = f ( x ) .
        В таком случае, если точка а - конец промежутка и a ∈ X , то F(x ) ∈ C(a ) ,
а односторонняя производная может и не существовать, причём если
существует, то не обязательно, чтобы она совпадала со значением функции f(x)
в точке а.
        Например, функция F(x)=х на [0, 1] является первообразной для
функций
                              1, 0 < x ≤ 1,
                     f (x ) =               и g(x ) = 1, ∀x ∈ [0;1] .
                              0 , x = 0

     Заметим, что в таком случае одна и та же функция может быть
первообразной для разных функций, однако они могут отличаться друг от
друга только на концах промежутка, т.к. во всех внутренних точках в силу
условия 2 они совпадают.
       Очевидно, что приведённое нами определение 1.1, является частным
случаем определения 1.2. Дальнейшее изучение материала мы проведём,
опираясь на определение 1.1.

6