Неопределенный интеграл. Руцкова И.Г. - 31 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ОГУ | Оренбург

Составители: 

Рубрика: 

Пример 4.32 Найти .
∫
dx x2sinxcos
3
Решение.
∫∫ ∫
==⋅⋅= dx xsinxcos2dx xcosxsin2xcosdx x2sinxcos
433
()
.RX :X ,C
5
xcos
2 xcosxdcos2
5
4
∫
⊂∀+−=−=
Ответ: R.X :X ,Cxcos
5
2
5
⊂∀+−
Задания для самостоятельного решения
4.18 (С)
dx
x
1
xln
1
3
⋅
∫
. 4.19 (С) xdxsinxcos
3
⋅
∫
.
4.20 (С)
∫
−
⋅ dx
x1
1
xarccos
2
5
. 4.21 (С)
∫
+
⋅ dx
x1
1
arctgx
1
2
.
4.22 (С) . 4.23 (С) . dx xcose
xsin
⋅
∫ ∫
⋅ dxx3)xcos(
23
4.24 (С)
∫
+
dx
x1
x4
8
3
. 4.25 (С) dx
x1
x2
4
∫
−
.
4.26 (С) . 4.27 (С)
()(
∫
++ dx5x3x5x
2
12
3
)
(
)
∫
++
++
dx
xx7x
1x14x4
3
24
3
.
4.28 (С)
∫
+= Cxsinlnctgxdx .
Мы рассмотрели примеры, когда теорема 4.2 применяется сразу. Однако
такие ситуации встречаются крайне редко. Чаще всего требуется сделать под
интегралом дополнительные преобразования.
Иногда удаётся получить подынтегральное выражение нужного вида с
помощью следующих свойств дифференциала функции.
31
                                                  ∫ cos
                                                          3
     Пример 4.32                Найти                         x sin 2 x dx .

     Решение.

     ∫ cos       x sin 2 x dx = ∫ cos 3 x ⋅ 2 sin x ⋅ cos x dx = ∫ 2 cos 4 x sin x dx =
             3




                                  cos 5 x
     = − ∫ 2 cos xd(cos x ) = − 2
                       4
                                          + C, ∀ X : X ⊂ R.
                                    5

             2
     Ответ: − cos 5 x + C, ∀ X : X ⊂ R.
             5


     Задания для самостоятельного решения

                           1      1
                   ∫ ln 3 x ⋅ x dx .                                                  ∫
                                                                                          3
     4.18 (С)                                                              4.19 (С)           cos x ⋅ sin xdx .


                                              1                                            1      1
     4.20 (С) ∫ arccos 5 x ⋅                          dx .                 4.21 (С)   ∫ arctgx 1 + x 2 dx .
                                                                                              ⋅
                                             1− x2

     4.22 (С) ∫ e sin x ⋅ cos x dx .                                      4.23 (С) ∫ cos( x 3 ) ⋅ 3x 2 dx .

                           4x 3                                                                2x
     4.24 (С)      ∫              8
                                      dx .                                 4.25 (С)   ∫ 1 − x 4 dx .
                           1+ x


                   ∫ (x               ) (3x           )
                                      12                                                      4 x 3 + 14 x + 1
                                                                                      ∫
                           3                  2
     4.26 (С)                  + 5x               + 5 dx .                4.27 (С)                                dx .
                                                                                          (x   4      2
                                                                                                   + 7x + x   )
                                                                                                              3



     4.28 (С) ∫ ctgxdx = ln sin x + C .


     Мы рассмотрели примеры, когда теорема 4.2 применяется сразу. Однако
такие ситуации встречаются крайне редко. Чаще всего требуется сделать под
интегралом дополнительные преобразования.

     Иногда удаётся получить подынтегральное выражение нужного вида с
помощью следующих свойств дифференциала функции.


                                                                                                                         31

Страницы