Неопределенный интеграл. Руцкова И.Г. - 32 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ОГУ | Оренбург

Составители: 

Рубрика: 

Теорема 4.4 (Свойства дифференциала функции)
Если , то
() ( )
XDxf ∈
1.
()
(
)( )
Xx ,b)x(fdxfd Rb
∈
∀
+
=∈∀ .
2.
() ()
Xx,f(x)a d
a
1
xdf 0a :Ra ∈∀⋅=≠∈∀ .
3.
() ()()
Xx,bxfad
a
1
xdf 0a :Rb,a ∈∀+⋅=≠∈∀ .
Доказательство.
Для доказательства данного утверждения достаточно воспользоваться
формулой для нахождения дифференциала функции
() ()
Xx,dxxfxdf ∈∀⋅
′
=
и правилами нахождения производной:
() ( ) ( )
X. x (x);fabf(x)a ;)x(fbf(x) );x(fa)x(fa ∈∀
′
⋅=
′
+⋅
′
=
′
+
′
⋅=
′
⋅
В таком случае имеем:
1)
d .
()()()()()
Xx ,dxxfdxbxfbxf ∈∀
′
=
′
+=+
Следовательно,
(
)
Xx ,b)x(fd)x(df
∈
∀
+
=
, ∀ b∈R.
2)
d
()()()( ) () ()()
R.a X, x ,xfdadxxfadxxfaxfa ∈∀∈∀⋅=
′
⋅=
′
⋅=⋅
Следовательно,
() ()
Xx,f(x)a d
a
1
xdf0a :Ra ∈∀⋅=≠∈∀
.
3) d
()()
X. x )),x(f(dadx)x(fadxb)x(fab)x(fa ∈∀⋅=
′
⋅=
′
+⋅=+⋅
Следовательно,
() ()()
Xx ,bxfad
a
1
xdf0a :Rb,a ∈∀+⋅=≠∈∀
.
32
         Теорема 4.4 (Свойства дифференциала функции)

         Если        f ( x ) ∈ D( X ) , то

         1. ∀ b ∈ R               d ( f ( x )) = d ( f ( x ) + b ), ∀ x ∈ X .

                                                        1
         2. ∀ a ∈ R : a ≠ 0                df ( x ) =     d (a ⋅ f(x)), ∀x ∈ X .
                                                        a

                                                         1
         3. ∀ a , b ∈ R : a ≠ 0             df ( x ) =     d (a ⋅ f ( x ) + b ), ∀x ∈ X .
                                                         a

         Доказательство.

     Для доказательства данного утверждения достаточно воспользоваться
формулой для нахождения дифференциала функции

         df (x ) = f ′(x ) ⋅ dx , ∀x ∈ X

         и правилами нахождения производной:

(a ⋅ f ( x ) )′ = a ⋅ f ′( x );       (f(x) + b )′ = f ′( x ); (a ⋅ f(x) + b )′ = a ⋅ f ′(x);   ∀ x ∈ X.

         В таком случае имеем:

         1) d(f (x ) + b ) = (f (x ) + b )′ dx = f ′(x )dx , ∀ x ∈ X .

         Следовательно,                   df ( x ) = d(f ( x ) + b ), ∀ x ∈ X , ∀ b∈R.

         2) d(a ⋅ f (x )) = (a ⋅ f (x ))′ dx = a ⋅ f ′(x )dx = a ⋅ d(f (x )), ∀ x ∈ X, ∀ a ∈ R.

                                                                   1
         Следовательно, ∀ a ∈ R : a ≠ 0 df (x ) = d (a ⋅ f(x) ), ∀x ∈ X .
                                                                   a
         3) d(a ⋅ f ( x ) + b ) = (a ⋅ f ( x ) + b )′ dx = a ⋅ f ′( x )dx = a ⋅ d (f ( x )), ∀ x ∈ X.

                                                                     1
         Следовательно,                 ∀ a , b ∈ R : a ≠ 0 df (x ) = d(a ⋅ f (x ) + b ), ∀ x ∈ X .
                                                                     a




32

Страницы