Неопределенный интеграл. Руцкова И.Г. - 40 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ОГУ | Оренбург

Составители: 

Рубрика: 

условия изХ для;CaxxlnCalnaxxln
2
1
2
+++=+−++=
теоремы.
4) Формулу 4) докажите самостоятельно.
Замечание. Нетрудно заметить, что указанные в теореме 4.5 формулы
можно доказать и иначе: с помощью непосредственного дифференцирования,
т.е. используя алгоритм доказательства формул (9) - (12) теоремы 3.1.
(
Проверьте самостоятельно!)
Ранее мы рассмотрели примеры, где используется либо в чистом виде
теорема 4.2, либо свойства дифференциала, выделенные в теореме 4.4. Однако
такие ситуации встречаются редко. Чаще всего приходится использовать обе
идеи.
Пример 4.49
Найти
∫
+⋅ dx 2xx
5
32
.
Решение.
() ()()
()
.RX :X ,C)2x(
18
5
C
56
2x
3
1
2xd2x
3
1
xd 2x
3
1
dx 2xx
5
63
56
3
3
51
33
5
3
5
32
⊂∀++=+
+
⋅=
=++=+=+⋅
∫∫∫
Ответ: RX :X ,C)2x(
18
5
5
63
⊂∀++ .
Пример 4.50 Найти
∫
−
dx
1e
e
x
x
.
Решение.
(
)
(
)
{}()
0\RX:X ,C1eln
1e
1ed
1e
ed
dx
1e
e
x
x
x
x
x
x
x
⊂∀+−=
−
−
=
−
=
−
∫∫∫
.
Ответ:
{
}
(
)
0\RX:X ,C1e
x
⊂∀+−ln .
40
     = ln x + x 2 + a − ln a + C1 = ln x + x 2 + a + C; для Х из условия
теоремы.

     4) Формулу 4) докажите самостоятельно.


      Замечание. Нетрудно заметить, что указанные в теореме 4.5 формулы
можно доказать и иначе: с помощью непосредственного дифференцирования,
т.е. используя алгоритм доказательства формул (9) - (12) теоремы 3.1.
(Проверьте самостоятельно!)


      Ранее мы рассмотрели примеры, где используется либо в чистом виде
теорема 4.2, либо свойства дифференциала, выделенные в теореме 4.4. Однако
такие ситуации встречаются редко. Чаще всего приходится использовать обе
идеи.


                                                   5
                                        ∫x
                                              2
     Пример 4.49 Найти                            ⋅ x 3 + 2 dx .

     Решение.

                                                       ( )          (      ) (        )
                                                     15
                2 5           15 3            1 3
           ∫ x ⋅ x + 2 dx = ∫ 3 x + 2 d x = ∫ 3 x + 2 d x + 2 =
                      3                  3               3




           = ⋅
                  (
            1 x3 + 2      )65
                                 +C=
                                        55 3
                                          ( x + 2) 6 + C, ∀ X : X ⊂ R.
            3    65                    18

                       55 3
     Ответ:              ( x + 2) 6 + C, ∀ X : X ⊂ R .
                      18


                                              ex
     Пример 4.50               Найти    ∫ e x − 1 dx .

     Решение.

           ex             d ex( ) = d(e   x
                                              −1   ) = ln e       − 1 + C, ∀ X : X ⊂ (R \ {0}) .
     ∫ ex −1     dx = ∫            ∫
                                                              x
                           x             x
                          e −1         e −1

     Ответ:           ln e x − 1 + C, ∀ X : X ⊂ (R \ {0}) .


40

Страницы