Неопределенный интеграл. Руцкова И.Г. - 43 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ОГУ | Оренбург

Составители: 

Рубрика: 

Пример 4.57 Найти
.dx xe
)1x(
2
∫
+−
Решение.
.RX :X ,Ce
2
1
))1x((de
2
1
)1x(de
2
1
)x(de
2
1
dx xe
)1x(2)1x(
2)1x(2)1x()1x(
22
222
∫
∫∫ ∫
⊂∀+−=+−−=
=+==
+−+−
+−+−+−
Ответ: RX :X ,Ce
2
1
)1x(
2
⊂∀+−
+−
.
Замечание. В некоторых случаях для получения окончательного
ответа этим методом необходимо воспользоваться несколько раз.
Пример 4.58 Найти
∫
+⋅⋅ ))5)x(ln(lnxlnx
dx
.
Решение.
(
)
()
∫∫∫
=
+
=
+⋅
=
+⋅⋅ 5xlnln
))x(ln(lnd
)5)x(ln(lnxln
xlnd
)5)x(ln(lnxlnx
dx
()
.e\),1(X :X ,C|5)xln(ln|ln
5xlnln
)5)x(ln(lnd
5
e1
+∞⊂∀++=
+
+
=
∫
Ответ: .e\),1(X :X ,C|5)xln(ln|ln
5
e1
+∞⊂∀++
Пример 4.59 Найти
∫
−
−
.dx
1x
xe
2
1x
2
Решение.
(
)
).,1()1,(X :X ,Ce1xde
)1x(d
1x
e
2
1
)x(d
1x
e
2
1
dx
1x
ex
1x21x
2
2
1x
2
2
1x
2
1x
22
222
+∞∪−−∞⊂∀+=−=
=−
−
⋅=
−
=
−
⋅
−−
−−−
∫
∫∫∫
43
                                                          2
                                                   −( x       +1)
    Пример 4.57 Найти                           ∫e                  x dx.


    Решение.


           −( x   2
                      +1)  1      2               1     2
        ∫e      x dx = ∫ e −( x +1) d ( x 2 ) = ∫ e −( x +1) d ( x 2 + 1) =
                           2                      2
         1      2                       1       2
    = − ∫ e −( x +1) d (−( x 2 + 1)) = − e −( x +1) + C, ∀ X : X ⊂ R.
         2                              2

            1      2
    Ответ: − e −( x +1) + C, ∀ X : X ⊂ R .
            2

     Замечание. В некоторых случаях для получения окончательного
ответа этим методом необходимо воспользоваться несколько раз.

                                                                dx
    Пример 4.58                    Найти         ∫ x ⋅ ln x ⋅ (ln(ln x ) + 5)) .
    Решение.

                  dx                      d(ln x )         d(ln(ln x ))
    ∫ x ⋅ ln x ⋅ (ln(ln x ) + 5) ∫ ln x ⋅ (ln(ln x) + 5) ∫ ln(ln x ) + 5 =
                                =                       =


          d (ln(ln x ) + 5)
                            = ln | ln(ln x ) + 5 | + C, ∀ X : X ⊂  (1,+∞) \ e1 e .
                                                                                  5
    =∫
            ln (ln x ) + 5                                                         


                                ln | ln(ln x ) + 5 | +C, ∀ X : X ⊂  (1,+∞) \ e1 e .
                                                                                   5
    Ответ:
                                                                                    

                                                          x 2 −1
                                                     xe
    Пример 4.59                    Найти         ∫        2
                                                                     dx.
                                                         x −1
    Решение.



                  x 2 −1                    2                               2
        x⋅e             1 e x −1           1 e x −1
    ∫            dx = ∫          d( x ) = ∫ ⋅
                                     2
                                                    d ( x 2 − 1) =
           x2 −1        2 x2 −1            2 x2 −1


    = ∫e      x 2 −1
                            (
                        d x2 −1 = e    )        x 2 −1
                                                         + C, ∀ X : X ⊂ (−∞,−1) ∪ (1,+∞).

                                                                                            43

Страницы