Неопределенный интеграл. Руцкова И.Г. - 46 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ОГУ | Оренбург

Составители: 

Рубрика: 

,C
2
x
tg1
2
x
tg1
ln
2
x
tg1
2
x
tgd2
2
+
−
+
=
−
=
∫
±=⊂ 1
2
x
tgx\RX :X
∀
.
Ответ:
,C
2
x
tg1
2
x
tg1
ln +
−
+
∈π+
π
=⊂ Zn,n
2
x\RX :X ∀
.
Пример 4.64 Найти .dx
xcos1
1
∫
+
Решение.
=⊂∀+=
==
+
∫∫∫
0
2
x
cosx\RX :X ,C
2
x
tg
2
x
cos
2
x
d
2
x
cos2
dx
dx
xcos1
1
22
Ответ:
{}()
.Zn,n2x\RX :X ,C
2
x
tg ∈π+π=⊂∀+
Пример 4.65 Найти
∫
+
.dx
xsin1
1
Решение.
1 способ.
=
−
π
=
−
π
=
−
π
+
=
+
∫∫∫ ∫
2
x
4
cos
2
x
d
2
x
4
cos2
dx
dx
x
2
cos1
1
dx
xsin1
1
22
.0
2
x
4
cosx\RX:X ,C
2
x
4
tg
2
x
4
cos
2
x
4
d
2
=
−
π
⊂∀+
−
π
−=
−
π
−
π
−=
∫
46
            x                x
        2d tg         1 + tg
     =∫
            2
                   = ln        2 + C, ∀ X : X ⊂  R         x    
                                                       \ x tg = ±1  .
                 x             x                             2
        1 − tg 2        1 − tg                                   
                 2             2

                      x
                  1 + tg
                      2 + C,                           π            
     Ответ: ln                       ∀ X : X ⊂  R \ x = + πn , n ∈ Z  .
                      x                                2            
               1 − tg
                      2


                                         1
     Пример 4.64        Найти      ∫ 1 + cos x dx.
     Решение.

                                    x
                                   d 
           1            dx          2      x                            x     
     ∫ 1 + cos x ∫
                dx =
                           2 x
                               = ∫ 2x   = tg
                                             2
                                               + C, ∀ X : X ⊂ 
                                                              
                                                              
                                                                R \ 
                                                                    
                                                                      x cos
                                                                            2
                                                                              = 0  
                                                                                  
                     2 cos        cos
                             2        2

                       x
     Ответ:       tg     + C, ∀ X : X ⊂ (R \ {x = π + 2πn , n ∈ Z}).
                       2


                                    1
     Пример 4.65 Найти         ∫ 1 + sin x dx.
     Решение.

     1 способ.
                                                                           x
                                                                         d 
            1                    1                    dx                   2
      ∫ 1 + sin x dx = ∫         π   
                                        dx = ∫          π   x 
                                                                 = ∫        π x 
                                                                                   =
                         1 + cos − x         2 cos 2  −          cos 2  − 
                                 2                   4 2               4 2
               π x
             d − 
               4 2             π x                               π x        
     = −∫                  = − tg −  + C, ∀ X : X ⊂  R \ x cos −  = 0 .
                 π x           4 2                               4 2        
           cos 2  − 
                 4 2


46

Страницы