Неопределенный интеграл. Руцкова И.Г. - 47 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ОГУ | Оренбург

Составители: 

Рубрика: 

2 способ.
∫∫ ∫
=
++
=
++
=
+
)1
2
x
tg2
2
x
tg(
2
x
cos
dx
2
x
cos
2
x
sin2
2
x
cos
2
x
sin
dx
dx
xsin1
1
2222
∫∫∫
+
+
−=
+
+
=
+
=
+⋅
= .C
1
2
x
tg
2
1
2
x
tg
1
2
x
tgd
2
1
2
x
tg
2
x
tgd
2
1
2
x
tg
2
x
cos
2
x
d
2
222
2
}).Zn,n2
2
3
{x\ R(X :X ∈π+
π
=⊂∀
Ответ:
C
2
x
4
tg +
−
π
− или
C
1
2
x
tg
2
+
+
− ,
}).Zn,n2
2
3
{x\ R(X :X ∈π+
π
=⊂∀
Замечание. На первый взгляд кажется, что в примере 4.65 получены
совершенно разные ответы, но это не так. Используя тождественные
преобразования, можно легко доказать, что функции
2
x
tg1
2
)x(F и
2
x
4
tg)x(F
21
+
−=
−
π
−= , отличаются на постоянную,
})Zn,n2
2
3
{x\ R(X ∈π+:X
π
=⊂∀ . Действительно,
.1
2
x
tg1
2
2
x
tg1
2
x
tg12
2
x
tg1
2
x
tg1
2
x
tg
4
tg1
2
x
tg
4
tg
2
x
4
tg −
+
−=
+
+−
−=
+
−
−=
⋅
π
+
−
π
−=
−
π
−
В более сложных случаях, проверку результатов осуществляют с
помощью операции дифференцирования, учитывая справедливость теорем 1.1 и
1.2
Замечание.
Примеры 4.63 - 4.65 также можно решить, с помощью
метода замены переменной, используя
«универсальную тригонометрическую
47
      2 способ.


             1                             dx                               dx
      ∫ 1 + sin x dx = ∫       2 x       2 x        x    x
                                                           =∫
                                                                  2 x      2 x       x
                                                                                           =
                           sin     + cos     + 2 sin cos      cos     ( tg     + 2 tg + 1)
                                 2         2        2    2          2        2       2

                      x                      x                   x     
                     d                     d tg                d tg + 1
                      2                      2                   2                  2
      = 2∫                           = 2∫                   = 2∫                   =−          + C.
                 x  x      
                                 2
                                             x     
                                                        2
                                                                    x     
                                                                               2          x
             cos 2
                  ⋅  tg + 1                tg + 1               tg + 1            tg + 1
                 2  2                      2                    2                   2

                              3π
      ∀ X : X ⊂ (R \ {x =        + 2πn , n ∈ Z}).
                               2

                         π x                                2
      Ответ:         − tg −  + C или              −              + C,
                         4 2                                x
                                                            tg + 1
                                                              2
                              3π
      ∀ X : X ⊂ (R \ {x =        + 2πn , n ∈ Z}).
                               2


     Замечание. На первый взгляд кажется, что в примере 4.65 получены
совершенно разные ответы, но это не так. Используя тождественные
преобразования, можно легко доказать, что функции

                      π x                        2
      F1 ( x ) = − tg −  и F2 ( x ) = −               , отличаются на постоянную,
                      4 2                           x
                                               1 + tg
                                                      2
                        3π
∀ X : X ⊂ (R \ {x =         + 2πn , n ∈ Z}) . Действительно,
                         2
                                π      x              x               x
                             tg − tg          1 − tg       2 − 1 + tg 
            π x               4      2 =−           2 =−            2        2
      − tg −  = −                                                       =−          − 1.
             4     2            π     x             x              x              x
                           1 + tg ⋅ tg        1 + tg          1 + tg         1 + tg
                                  4     2             2              2              2
      В более сложных случаях, проверку результатов осуществляют с
помощью операции дифференцирования, учитывая справедливость теорем 1.1 и
1.2

     Замечание. Примеры 4.63 - 4.65 также можно решить, с помощью
метода замены переменной, используя «универсальную тригонометрическую

                                                                                                      47

Страницы