Неопределенный интеграл. Руцкова И.Г. - 48 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ОГУ | Оренбург

Составители: 

Рубрика: 

подстановку
2
x
tg
=
t
». Такой вариант обычно предлагается в классических
учебниках. Подробнее об этом способе смотри в пункте 7.
Замечание. Вычисление интегралов, содержащих квадратные
трехчлены, в некоторых случаях удаётся свести к применению метода
подведения под знак дифференциала, если предварительно выделить полный
квадрат.
Пример 4.66
Найти
∫
+
+
.dx
5x4x
1
2
Решение.
()
(
)
()
()
.RX:X,C2xarctg
12x
2xd
12x
dx
dx
5x4x
1
222
⊂∀++=
++
+
=
++
=
++
∫∫∫
Ответ:
(
)
RX:X,C2xarctg ⊂
∀
++ .
Пример 4.67
Найти
∫
+−
dx
7x6x
1
2
.
Решение.
()
(
)
()
()()
).,23()23,(X:X ,C23x3xln
23x
3xd
23x
dx
dx
7x6x
1
2
222
+∞+∪−−∞⊂∀+−−+−=
=
−−
−
=
−−
=
+−
∫∫∫
Ответ:
()()
).,23()23,(X:X ,C23x3x
2
+∞+∪−−∞⊂∀+−−+−ln
Пример 4.68 Найти
∫
+
−
.
x8x47
dx
2
Решение.
()
()
()
=
−−
−
=
−−
=
+−
∫∫ ∫
222
2x211
2x2d
2
1
2x211
dx
x8x47
dx
48
                  x
подстановку t = tg  ». Такой вариант обычно предлагается в классических
                  2
учебниках. Подробнее об этом способе смотри в пункте 7.


     Замечание.      Вычисление интегралов, содержащих квадратные
трехчлены, в некоторых случаях удаётся свести к применению метода
подведения под знак дифференциала, если предварительно выделить полный
квадрат.

                                             1
     Пример 4.66        Найти     ∫ x 2 + 4x + 5 dx.

     Решение.

               1           dx          d (x + 2 )
     ∫ x 2 + 4x + 5 ∫ (x + 2)2 + 1 ∫ (x + 2)2 + 1 = arctg(x + 2) + C, ∀X : X ⊂ R.
                   dx =           =


     Ответ: arctg(x + 2 ) + C, ∀X : X ⊂ R .


                                                 1
     Пример 4.67        Найти      ∫     2
                                                           dx .
                                        x − 6x + 7

     Решение.
           1                           dx                    d (x − 3 )
      ∫                dx = ∫                         =∫                       =
           2
          x − 6x + 7              (x − 3 )   2
                                                 −2        (x − 3 )   2
                                                                          −2

     = ln (x − 3) +   (x − 3 ) 2 − 2   + C, ∀ X : X ⊂ (−∞,3 − 2 ) ∪ (3 + 2 ,+∞).


     Ответ: ln (x − 3) +        (x − 3 ) 2 − 2       + C, ∀ X : X ⊂ (−∞,3 − 2 ) ∪ (3 + 2 ,+∞).

                                         dx
     Пример 4.68 Найти          ∫ 7 − 4 x 2 + 8x .

     Решение.
                                                     1
                                                        d(2 x − 2 )
               dx                dx                  2
     ∫ 7 − 4x 2 + 8x = ∫ 11 − (2x − 2)2          =∫
                                                    11 − (2 x − 2 ) 2
                                                                      =



48

Страницы