Неопределенный интеграл. Руцкова И.Г. - 50 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ОГУ | Оренбург

Составители: 

Рубрика: 

4.3 Сочетание методов разложения и подведения под знак
дифференциала
В пунктах 4.1 и 4.2 мы рассмотрели примеры, когда интеграл удается
найти, используя либо «метод разложения», либо «метод подведения под знак
дифференциала». Однако чаще всего при вычислении интегралов возникает
необходимость в использовании нескольких методов интегрирования сразу.
Все предлагаемые ниже интегралы считаются с помощью двух
методов: разложения и подведения под знак дифференциала.
Пример 4.70 Найти
∫
−
+
dx
4x
3x
2
.
Решение.
dx
4x
3
4x
x
dx
4x
3x
222
∫∫
−
+
−
=
−
+
.
Заметим, что
∫∫∫
+
−
⋅=
−
−
=
−
=
−
1
212
2
2
2
2
2
C
21
)4x(
2
1
4x
)4x(d
2
1
4x
)x(d
2
1
dx
4x
x
.
Следовательно,
{}
.2xxX:X ,C4xxln34xdx
4x
3x
22
2
>⊂∀+−++−=
−
+
∫
Ответ:
2}.|x| |x{X:X ,C||4xx|ln34x
22
>⊂∀+−++−
Пример 4.71 Найти
.dx
e
1e
x
x2
∫
−
Решение.
(
)
dxeedx
e
1e
xx
x
x2
∫∫
−
−=
−
, ∀ X : X ⊂ R . Заметим, что
50
    4.3 Сочетание               методов      разложения       и    подведения       под     знак
дифференциала


     В пунктах 4.1 и 4.2 мы рассмотрели примеры, когда интеграл удается
найти, используя либо «метод разложения», либо «метод подведения под знак
дифференциала». Однако чаще всего при вычислении интегралов возникает
необходимость в использовании нескольких методов интегрирования сразу.

    Все предлагаемые ниже интегралы считаются с помощью двух
методов: разложения и подведения под знак дифференциала.


                                           x+3
     Пример 4.70           Найти      ∫              dx .
                                           x2 − 4

     Решение.

           x+3           x                      3
      ∫         dx = ∫       +                   dx .
            2            2                    2  
           x −4         x −4                 x −4

     Заметим, что

               x      1 d( x 2 )  1 d( x 2 − 4) 1 ( x 2 − 4)1 2
     ∫            dx = ∫
                      2
                                 = ∫           = ⋅              + C1 .
           x2 − 4        x2 − 4 2      x2 − 4 2        12

     Следовательно,

           x+3
     ∫         2
                                                                            {
                     dx = x 2 − 4 + 3 ln x + x 2 − 4 + C, ∀ X : X ⊂ x x > 2 .           }
          x −4

     Ответ:             x 2 − 4 + 3 ln | x + x 2 − 4 || + C, ∀X : X ⊂ {x | | x |> 2}.


                                           e 2x − 1
     Пример 4.71              Найти       ∫ e x dx.
     Решение.


     ∫
         e 2x − 1
               x
                          (           )
                    dx = ∫ e x − e − x dx , ∀ X : X ⊂ R .         Заметим, что
           e

50

Страницы