Неопределенный интеграл. Руцкова И.Г. - 51 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ОГУ | Оренбург

Составители: 

Рубрика: 

∫∫
+−=−−=
−
−−
.Ce)x(dedxe
1
xxx
Следовательно,
(
)
RX :X ,Ceedxee
xxxx
⊂∀++=−
−−
∫
.
Ответ: e R.X :X ,Ce
xx
⊂∀++
−
Пример 4.72
Найти
.dx
xcos
5xtg
2
4
∫
+
Решение.
Решение данного примера можно записать двумя способами.
1 способ.
dx
xcos
5
xcos
xtg
dx
xcos
5xtg
22
4
2
4
∫∫
+=
+
. Замечаем, что
∈π+
π
⊂∀+==
∫∫
Zn,n
2
\RX:X ,C
5
xtg
)tgx(xdtg
xcos
xtg
1
5
4
2
4
.
Следовательно,
∈π+
π
⊂∀++=
+
∫
Zn,n
2
\RX:X ,Ctgx5
5
xtg
dx
xcos
5xtg
5
2
4
.
2 способ.
()
Ctgx5
5
xtg
)tgx(d5xtgdx
xcos
5xtg
5
4
2
4
++=+=
+
∫∫
.
Ответ:
∈π+
π
⊂∀++ Zn,n
2
\RX:X ,Ctgx5
5
xtg
5
.
Замечание. Естественно, что в тех случаях, когда это возможно,
предпочтительнее использовать второй способ записи решения. Этот пример
можно также решить, используя метод замены переменной: t=tgx.
51
          −x
     ∫e         dx = − ∫ e − x d ( − x ) = −e − x + C1 .       Следовательно,


     ∫ (e              )
                − e − x dx = e x + e − x + C, ∀ X : X ⊂ R .
            x



     Ответ: e x + e − x + C, ∀ X : X ⊂ R.


                                       tg 4 x + 5
     Пример 4.72               Найти ∫           dx.
                                        cos 2 x

     Решение.

     Решение данного примера можно записать двумя способами.

     1 способ.

      tg 4 x + 5        tg 4 x    5 
     ∫ cos 2 x  dx =   
                     ∫  cos 2 x cos 2 x dx .
                                +                            Замечаем, что
                                        

          tg 4 x                            tg 5 x                         π            
     ∫ cos 2 x       = ∫ tg 4 xd( tgx ) =
                                              5
                                                   + C1 , ∀ X : X ⊂  R
                                                                    
                                                                          \  + πn , n ∈ Z  .
                                                                            2            

     Следовательно,

             tg 4 x + 5      tg 5 x                                   π            
         ∫      cos 2 x
                        dx =
                               5
                                    + 5 tgx + C, ∀ X : X ⊂ R
                                                           
                                                                     \  + πn , n ∈ Z  .
                                                                       2            


     2 способ.


     ∫
         tg 4 x + 5
                       dx = ∫   (   4
                                            )
                                tg x + 5 d( tgx ) =
                                                    tg 5 x
                                                           + 5tgx + C .
          cos 2 x                                     5

                           tg 5 x                               π            
     Ответ:                       + 5tgx + C, ∀ X : X ⊂  R    \  + πn , n ∈ Z  .
                             5                                  2            

     Замечание. Естественно, что в тех случаях, когда это возможно,
предпочтительнее использовать второй способ записи решения. Этот пример
можно также решить, используя метод замены переменной: t=tgx.

                                                                                                  51

Страницы