Неопределенный интеграл. Руцкова И.Г. - 54 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ОГУ | Оренбург

Составители: 

Рубрика: 

5 Метод интегрирования по частям
В основе метода интегрирования по частям лежит следующая
теорема.
Теорема 5.1
Если f(x), g(x)
∈
D(X) и
∃
(
)
(
)
∫
′
⋅
dxxfxg
, то
∃
() ()
∫
′
dxxgxf
,
причём
() ()
(
)
(
)
(
)
(
)
∫
∫
+
′
−⋅=
′
Cdxxfxgxgxfdxxgxf
.
Доказательство.
Из курса дифференциального исчисления известно, что
( f (x) ⋅g (x)) ′=f ′ (x) ⋅ g(x) +f (x) ⋅g ′ (x), если f (x), g (x) ∈ D(X).
Учитывая определение и свойства неопределённого интеграла, получаем:
1)
;RC,C)x(g)x(fdx))x(g)x(f)x(g)x(f(
11
∈+⋅=
′
⋅+⋅
′
∫
2)
∫
∫
∫
∈+
′
⋅+⋅
′
=
′
⋅+⋅
′
.RC,Cdx)x(g)x(fdx)x(g)x(fdx))x(g)x(f)x(g)x(f(
22
Следовательно,
() () ()()
(
)
(
)
21
СdxxgxfdxxgxfCxgxf +
′
+
′
=+⋅
∫
∫
;
откуда и следует нужный результат:
()() () ()
(
)
(
)
∫
∫
+
′
−⋅=
′
.Cdxxgxfxgxfdxxgxf
( С=С
1
– С
2
).
Замечание. Если ввести обозначения:
u = f (x), v = g (x), du = f ′ (x)dx, dv = g ′(x)dx,
то формула приобретает вид:
(5.1)
∫∫
+−= .Cvduuvudv
54
        5 Метод интегрирования по частям


     В основе метода интегрирования по частям лежит следующая
теорема.

        Теорема 5.1
        Если f(x), g(x) ∈D(X) и ∃                ∫ g (x ) ⋅ f ′(x ) dx , то ∃ ∫ f (x )g ′(x ) dx ,
        причём               ∫ f (x ) g ′(x ) dx = f (x ) ⋅ g (x ) − ∫ g (x ) f ′(x ) dx + C .

        Доказательство.

        Из курса дифференциального исчисления известно, что

        ( f (x) ⋅g (x)) ′=f ′ (x) ⋅ g(x) +f (x) ⋅g ′ (x), если f (x), g (x) ∈D(X).

        Учитывая определение и свойства неопределённого интеграла, получаем:

1) ∫ (f ′( x ) ⋅ g ( x ) + f ( x ) ⋅ g ′( x ))dx = f ( x ) ⋅ g ( x ) + C1 , C1 ∈ R ;

2) ∫ (f ′( x ) ⋅ g ( x ) + f ( x ) ⋅ g ′( x ))dx = ∫ f ′( x ) ⋅ g ( x )dx + ∫ f ( x ) ⋅ g ′( x )dx + C 2 , C 2 ∈ R.

        Следовательно,

         f (x ) ⋅ g (x ) + C1 = ∫ f ′(x )g (x )dx + ∫ f (x )g ′(x )dx + С 2 ;

        откуда и следует нужный результат:

          ∫ f (x )g ′(x )dx = f (x ) ⋅ g(x ) − ∫ f ′(x )g(x )dx + C.         ( С=С1 – С2 ).


        Замечание. Если ввести обозначения:

                          u = f (x), v = g (x), du = f ′ (x)dx, dv = g ′(x)dx,

        то формула приобретает вид:

                   ∫ udv = uv − ∫ vdu + C.                                                             (5.1)



54

Страницы