Неопределенный интеграл. Руцкова И.Г. - 55 стр.

      Именно в таком виде она обычно и применяется при вычислении
интегралов.
      Возникает вопрос: когда имеет смысл применять метод интегрирования
по частям?
      Очевидно, что в тех случаях, когда рассмотренные выше методы
разложения и подведения под знак дифференциала не приводят нас к успеху.
Быстрота решения в этом случае зависит от умения выбирать u и dv; т.е. от
умения выбирать функции, которые следует предварительно подводить под
знак дифференциала.


     Рассмотрим несколько примеров.

     Пример 5.1 Найти ∫ arctgx dx .

     Решение.

     В данном случае, размышлять над выбором функций                             u и v не
приходится, т.к. под интегралом только одна функция.

                      u = arctgx
     ∫ arctg x dx =                = x ⋅ arctgx − ∫ x d(arctgx ) + C1 =
                      v=x


                             1                        1 d ( x 2 + 1)
     = x ⋅ arctgx − ∫ x ⋅       dx + C1 = x ⋅ arctgx − ∫             =
                          1+ x2                       2   x2 +1

                      1                                        1
     = x ⋅ arctgx −     ln | x 2 + 1 | +C 2 + C1 = x ⋅ arctgx − ln | x 2 + 1 | +C, C = C1 + C 2 .
                      2                                        2

                                 1
     Ответ:      x ⋅ arctgx −      ln x 2 + 1 + C, ∀ X : X ⊂ R.
                                 2

     Заметим, что в процессе решения появились две постоянные С1 и С2,
которые дали в итоге одну постоянную С. Поэтому, при применении метода
интегрирования по частям, на практике обычно постоянную вводят только
после освобождения от последнего знака интеграла.
     А ранее выписанное равенство (5.1) , записывают иногда так:

         ∫ udv = uv − ∫ vdu ,                                                           ( 5.2)



                                                                                            55