Неопределенный интеграл. Руцкова И.Г. - 57 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ОГУ | Оренбург

Составители: 

Рубрика: 

Пример 5.4 Найти
∫
⋅ dx. xlnx
5
Решение.
()
=−⋅=
=⋅
∫∫ ∫
xlnd
6
x
xln
6
x
6
x
d xlnxdxlnx
666
5
∫∫
+−
⋅
=−⋅=⋅−⋅= .C
36
x
6
xlnx
dx
6
x
xln
6
x
dx
x
1
6
x
xln
6
x
665666
Ответ: .RX :X ,Cx
36
1
xlnx
6
1
66
+
⊂∀+−⋅
Замечание. Из рассмотренных выше примеров видно, что когда под
знаком интеграла стоит
произведение функций, то
за u выбирают функцию производная, которой имеет наиболее
простой вид, а под знак дифференциала вводят ту функцию, которая
превращается в подобную или усложняется незначительно.
В частности, если под знаком интеграла стоит:
1) произведение алгебраической функции на тригонометрическую или
показательную,
то за u берут алгебраическую функцию, а под знак
дифференциала подводят неалгебраическую функцию (показательную или
тригонометрическую). (Смотри примеры 5.2 и 5.3).
2) произведение алгебраической функции на логарифмическую или
обратную тригонометрическую
, то за u берут неалгебраическую функцию
(логарифмическую или обратную тригонометрическую), а под знак
дифференциала подводят алгебраическую функцию. (Смотри примеры 5.1 и
5.4).
В некоторых случаях метод интегрирования по частям требуется
применить несколько раз.
Пример 5.5 Найти
∫
dx. xln
2
Решение.
57
                                ∫x
                                      5
    Пример 5.4 Найти                      ⋅ ln x dx.

    Решение.
                                x6    x6           x6
     ∫                ∫              =            ∫ 6 d(ln x ) =
         5
       x   ⋅ ln xdx =   ln x d  6     6  ⋅ ln x −
                                     

         x6            x6 1     x6            x5      x 6 ⋅ ln x x 6
     =      ⋅ ln x − ∫   ⋅ dx =    ⋅ ln x − ∫    dx =           −    + C.
         6             6 x      6             6           6       36

                1 6          1 6
    Ответ:        x ⋅ ln x −    x + C, ∀ X : X ⊂ R + .
                6            36


     Замечание. Из рассмотренных выше примеров видно, что когда под
знаком интеграла стоит произведение функций, то
     за u выбирают функцию производная, которой имеет наиболее
простой вид, а под знак дифференциала вводят ту функцию, которая
превращается в подобную или усложняется незначительно.

    В частности, если под знаком интеграла стоит:

     1) произведение алгебраической функции на тригонометрическую или
показательную, то за u берут алгебраическую функцию, а под знак
дифференциала подводят неалгебраическую функцию (показательную или
тригонометрическую). (Смотри примеры 5.2 и 5.3).

      2) произведение алгебраической функции на логарифмическую или
обратную тригонометрическую, то за u берут неалгебраическую функцию
(логарифмическую или обратную тригонометрическую), а под знак
дифференциала подводят алгебраическую функцию. (Смотри примеры 5.1 и
5.4).


    В некоторых случаях метод интегрирования по частям требуется
применить несколько раз.


    Пример 5.5 Найти ∫ ln 2 x dx.

    Решение.



                                                                            57

Страницы