Неопределенный интеграл. Руцкова И.Г. - 58 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ОГУ | Оренбург

Составители: 

Рубрика: 

()
∫∫ ∫
=⋅⋅−⋅=−⋅= dx
x
1
xln2xxlnxxlnd xxlnxxdxln
2222
=−⋅−⋅=−⋅=
∫∫
lnx) d(2 xxln2x(xlnxdx xln2xlnx
22
∫∫
=+⋅−⋅=⋅+⋅−⋅= dx2xlnx2xlnxdx
x
2
xxlnx2xlnx
22
.Cx2xlnx2xlnx
2
++
⋅
−⋅=
Ответ:
.RX :X ,Cx2xlnx2xlnx
2
+
⊂∀++⋅−⋅
Пример 5.6
Найти
∫
−
+− .dxe)5x2x(
x2
Решение.
.C)5x(eCe2)3x(e
dxe2)3x(e2)-d(2x )e()2x2()e(
)5x2x(e)e(d )2x2()5x2x(e
dx )2x2(e)5x2x(e)5x2x(d )e(
)5x2x(e)e(d )5x2x(dxe)5x2x(
2xx2x
x2xxx
2xx2x
x2x2x
2xx2x2
++⋅−=+−+⋅−=
=++⋅−=−−−⋅−+
++−⋅−=−−++−⋅−=
=−⋅++−⋅−=+−−−
−+−⋅−=−+−=⋅+−
−−−
−−−−
−−−
−−−
−
−
−
∫∫
∫
∫∫
∫∫
Ответ:
e
R.X :X ,C)5x(
2x
⊂∀++⋅
−
Замечание.
Обратите внимание на тот факт, что в рассмотренных
нами примерах 5.1- 5.6, применение метода интегрирования по частям
приводило нас
к вычислению интегралов более простого вида.
Рассмотрим ещё одну интересную ситуацию.
Пример 5.7 Найти
∫
.dxx4cose
x5
58
     ∫ ln
            2
                                          (         )
                xdx = x ⋅ ln 2 x − ∫ x d ln 2 x = x ⋅ ln 2 x − ∫ x ⋅ 2 ln x ⋅
                                                                                 1
                                                                                 x
                                                                                   dx =



     = x ⋅ ln 2 x − ∫ 2 ln x dx =x ⋅ ln 2 x − ( x ⋅ 2 ln x − ∫ x d(2 lnx) =

                                            2
     = x ⋅ ln 2 x − 2x ⋅ ln x + ∫ x ⋅         dx = x ⋅ ln 2 x − 2x ⋅ ln x + 2∫ dx =
                                            x

     = x ⋅ ln 2 x − 2 x ⋅ ln x + 2 x + C.

     Ответ:            x ⋅ ln 2 x − 2 x ⋅ ln x + 2 x + C, ∀ X : X ⊂ R + .


     Пример 5.6             Найти ∫ ( x 2 − 2 x + 5)e − x dx.

     Решение.

     ∫ (x
            2
                − 2 x + 5) ⋅ e − x dx = ∫ ( x 2 − 2 x + 5) d (−e − x ) = −e − x ⋅ ( x 2 − 2 x + 5) −


     − ∫ (−e − x ) d ( x 2 − 2 x + 5) = −e − x ⋅ ( x 2 − 2 x + 5) + ∫ e − x ⋅ (2 x − 2) dx =


     = −e − x ⋅ ( x 2 − 2 x + 5) + ∫ (2 x − 2) d (−e − x ) = − e − x ⋅ ( x 2 − 2 x + 5) +


     + (−e − x ) ⋅ (2 x − 2) − ∫ (−e − x ) d(2x - 2) = − e − x ⋅ ( x 2 + 3) + ∫ 2e − x dx =


     = −e − x ⋅ ( x 2 + 3) − 2e − x + C = −e − x ⋅ ( x 2 + 5) + C.

     Ответ: e − x ⋅ ( x 2 + 5) + C, ∀ X : X ⊂ R.


    Замечание. Обратите внимание на тот факт, что в рассмотренных
нами примерах 5.1- 5.6, применение метода интегрирования по частям
приводило нас к вычислению интегралов более простого вида.

     Рассмотрим ещё одну интересную ситуацию.

                                       ∫e
                                            5x
     Пример 5.7            Найти                 cos 4 x dx.

58

Страницы