Неопределенный интеграл. Руцкова И.Г. - 59 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ОГУ | Оренбург

Составители: 

Рубрика: 

Решение.
Заметим, что с точки зрения ранее сформулированного алгоритма
обе функции равноправны.
Как быть? Оказывается, что в такой ситуации выбор не имеет
принципиального значения:
подводя любую из этих функций под знак
дифференциала и дважды применяя метод интегрирования по частям, мы
придем к интегралу, аналогичному исходному.
()
.Сxdx4cose
25
16
x4sine
25
4
x4cose
5
1
x4sin
5
4
de
5
1
e
5
1
x4sin
5
4
x4cose
5
1
e
5
1
d x4sin
5
4
x4cose
5
1
dx x4sine
5
4
x4cose
5
1
dx )x4sin4(e
5
1
x4cose
5
1
x4cosd e
5
1
x4cose
5
1
e
5
1
d x4cosdxx4cose
1
x5x5x5x5
x5x5x5x5
x5x5x5x5
x5x5x5x5
+⋅−⋅+⋅=
−
−
⋅+⋅=
+⋅=
=+⋅=−⋅−⋅=
=−⋅=
=⋅
∫∫
∫
∫∫
∫∫∫
Мы помним, что все вычисления при применении метода
интегрирования по частям, справедливы с точностью до постоянной.
Следовательно,
вводя обозначение
I
, мы получаем уравнение
∫
= dxx4cose
x5
RC,CI
25
16
x4sine
25
4
x4cose
5
1
I
11
x5x5
∈+−+= .
Решая данное уравнение, получаем, что
1
x5x5
Cx4sine
25
4
x4cose
5
1
I
25
16
1 ++=
+
∫
=++== .C
41
25
C;Cx4sine
41
4
x4cose
41
5
dxx4coseI
1
x5x5x5
Ответ:
R. X :X ,Cx4sine
41
4
x4cose
41
5
x5x5
⊂∀+⋅+⋅
59
     Решение.

     Заметим, что с точки зрения ранее сформулированного алгоритма
обе функции равноправны.
     Как быть? Оказывается, что в такой ситуации выбор не имеет
принципиального значения: подводя любую из этих функций под знак
дифференциала и дважды применяя метод интегрирования по частям, мы
придем к интегралу, аналогичному исходному.

                                         1 5x  1 5x               1 5x
      ∫                     ∫                                     ∫ 5 e d(cos 4x ) =
          5x
        e    ⋅ cos 4 x dx =   cos 4 x d   e    = e  ⋅ cos 4 x −
                                        5      5

      1                  1                          1                   4
     = e 5 x ⋅ cos 4x − ∫ e 5 x ⋅ (−4 sin 4 x ) dx = e 5 x ⋅ cos 4 x + ∫ e 5 x sin 4 x dx =
      5                  5                          5                   5

      1                  4         1       1                  4          1      
     = e 5 x ⋅ cos 4x + ∫ sin 4 x d e 5 x  = e 5 x ⋅ cos 4 x + sin 4 x ⋅  e 5 x  −
      5                  5         5       5                  5          5      

        1       4         1                   4 5x             16 5 x
     − ∫ e 5 x d sin 4 x  = e 5 x ⋅ cos 4 x +    e ⋅ sin 4 x −    ∫ e ⋅ cos 4 xdx + С1 .
        5        5         5                  25               25

      Мы помним, что все вычисления при применении                                   метода
интегрирования по частям, справедливы с точностью до постоянной.
     Следовательно,
     вводя обозначение I = ∫ e 5 x cos 4 x dx , мы получаем уравнение

        1                4 5x           16
     I = e 5 x cos 4 x +    e sin 4 x −    I + C1 , C 1 ∈ R .
        5                25             25

     Решая данное уравнение, получаем, что

      16  1 5 x          4 5x
     1 + I = e cos 4 x +    e sin 4 x + C1
        25  5            25

                               5 5x         4                     25
     I = ∫ e 5 x cos 4x dx =      e cos 4x + e 5 x sin 4x + C; C = C1 .
                               41           41                    41

                  5 5x           4
     Ответ:          e ⋅ cos 4x + e 5 x ⋅ sin 4x + C, ∀ X : X ⊂ R.
                  41             41

                                                                                              59

Страницы