Неопределенный интеграл. Руцкова И.Г. - 60 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ОГУ | Оренбург

Составители: 

Рубрика: 

Пример 5.8 Найти
∫
dx. )xsin(ln
Решение.
∫
∫
∫∫
∫∫∫
+−
−−⋅=⋅−⋅+⋅−⋅=
=−⋅−⋅=−⋅=
=⋅⋅−⋅=−⋅=
.Cdx )xsin(ln
))xcos(ln)x(sin(lnxdx
x
1
))xsin(ln(x)xcos(lnx)xsin(lnx
) )d(cos(lnx) x)xcos(lnx()xsin(lnxdx )xcos(ln)xsin(lnx
dx
x
1
)xcos(lnx)xsin(lnx))x(sin(lnd xsin(lnx)xdx )xsin(ln
1
Т.е. снова получаем уравнение на исходный интеграл:
() ()
(
)
(
)
∫
∫
+−−=
1
Cdxxlnsinxlncosxxlnsinxdxxlnsin
.
Решая данное уравнение, получаем ответ:
() () ()
∫
=+−= .
2
C
C;Cxlncos
2
x
xlnsin
2
x
dxxlnsin
1
Ответ:
.R X :X ,C))xcos(ln)x(sin(ln
2
x
+
⊂∀+−⋅
Замечание.
Таким образом, если, применяя метод интегрирования по
частям, Вы получаете интеграл,
подобный исходному, то имеет смысл
повторить процедуру ещё раз, пока не получиться интеграл
аналогичный
исходному.
И тогда, вводя постоянную, можно получить уравнение, из
которого и будет следовать нужный результат.
Задания для самостоятельного решения
5.1 (C)
5.2 (C)
∫
.dxx3cosx
.dx
x
xln
3
∫
5.3 (C) 5.4 (C)
∫
.dxxarcsin .dx2x
x
∫
−
⋅
5.5 (C) 5.6 (C)
∫
++ .xdx2cos)6x5x(
2
∫
.bxdxsine
ax
60
       Пример 5.8          Найти     ∫ sin(ln x ) dx.
       Решение.

                                                                                                   1
∫ sin(ln x ) dx = x ⋅ sin(lnx) − ∫ x d(sin(ln x )) = x ⋅ sin(ln x ) − ∫ x ⋅ cos(ln x ) ⋅           x
                                                                                                     dx =


= x ⋅ sin(ln x ) − ∫ cos(ln x ) dx = x ⋅ sin(ln x ) − ( x ⋅ cos(ln x ) − ∫ x d(cos(lnx)) ) =


                                                             1
= x ⋅ sin(ln x ) − x ⋅ cos(ln x ) + ∫ x ⋅ (− sin(ln x )) ⋅     dx = x ⋅ (sin(ln x ) − cos(ln x )) −
                                                             x

− ∫ sin(ln x )dx + C1 .

       Т.е. снова получаем уравнение на исходный интеграл:

       ∫ sin (ln x )dx = x sin (ln x ) − x cos(ln x ) − ∫ sin (ln x )dx + C1 .
       Решая данное уравнение, получаем ответ:

                           x              x                   C
       ∫ sin (ln x )dx =   2
                             sin (ln x ) − cos(ln x ) + C; C = 1 .
                                          2                    2

                    x
       Ответ:         ⋅ (sin(ln x ) − cos(ln x )) + C, ∀ X : X ⊂ R + .
                    2

     Замечание. Таким образом, если, применяя метод интегрирования по
частям, Вы получаете интеграл, подобный исходному, то имеет смысл
повторить процедуру ещё раз, пока не получиться интеграл аналогичный
исходному. И тогда, вводя постоянную, можно получить уравнение, из
которого и будет следовать нужный результат.

       Задания для самостоятельного решения
                                                                                 ln x
       5.1 (C)    ∫ x cos 3x dx.                                   5.2 (C)   ∫   x3
                                                                                        dx.

                                                                                        −x
       5.3 (C)    ∫ arcsin x dx.                                   5.4 (C)   ∫x⋅2            dx.

       5.5 (C) ∫ ( x 2 + 5x + 6) cos 2 xdx.                        5.6 (C)   ∫e
                                                                                  ax
                                                                                       sin bxdx.

60

Страницы