Неопределенный интеграл. Руцкова И.Г. - 62 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ОГУ | Оренбург

Составители: 

Рубрика: 

Следовательно,
.
)x(Q
)x(K
)x(T
)x(Q
)x(K
)x(Q
)x(Q)x(T
)x(Q
)x(K)x(Q)x(T
)x(Q
)x(P
)x(R
m
r
mn
m
r
m
mmn
m
rmmn
m
n
+=
=+
⋅
=
+
⋅
==
−
−−
Замечание. Многочлены
(
)
)x(K ,xT
rmn−
можно найти, используя
правила деления многочленов. Наиболее распространённый метод – «деление
уголком». Ниже мы рассмотрим применение этого метода при решении
конкретных примеров.
Таким образом, из теоремы 6.1 следует, что
интегрирование
неправильных рациональных дробей (n
≥
m) сводится к интегрированию
многочленов и правильных рациональных дробей:
∫∫
+=
−
dx )
)x(Q
)x(K
)x(T (dx
)x(Q
)x(P
m
r
mn
m
n
. (6.1)
Интегралы вида
dx )axa...xa (dx )x(T
01
mn
mnmn
∫∫
+++=
−
−−
легко
считаются методом разложения. Следовательно,
нужно научиться
интегрировать правильные рациональные дроби.
Определение 6.3
Рациональные дроби вида
()
()
;0q4p ;Nn ;Rq,p,a,N,M,A ;
qpxx
NMx
,
ax
A
2
n
2
n
<−∈∈
++
+
−
называются
простейшими (элементарными) рациональными дробями.
Теорема 6.2
Любая правильная рациональная дробь (n<m)
()
()
()
xQ
xP
xR
m
n
= может быть
представлена, причём единственным образом, в виде суммы простейших
рациональных дробей.
62
     Следовательно,

                Pn ( x ) Tn − m ( x ) ⋅ Q m ( x ) + K r ( x ) Tn − m ( x ) ⋅ Q m ( x ) K r ( x )
     R (x) =            =                                    =                        +          =
                Q m (x)                Q m (x)                      Q m (x)             Q m (x)


                         K r (x)
     = Tn − m ( x ) +            .
                         Q m (x)


     Замечание. Многочлены Tn − m (x ), K r ( x ) можно найти, используя
правила деления многочленов. Наиболее распространённый метод – «деление
уголком». Ниже мы рассмотрим применение этого метода при решении
конкретных примеров.


     Таким образом, из теоремы 6.1 следует, что интегрирование
неправильных рациональных дробей (n ≥ m) сводится к интегрированию
многочленов и правильных рациональных дробей:

       Pn ( x )                                   K r ( x)
     ∫ Q m ( x) dx = ∫ ( Tn−m (x) + Q m ( x) ) dx .                                        (6.1)


                                                                       n−m
     Интегралы               вида     ∫ Tn−m ( x ) dx = ∫ ( a n−m x          + ... + a1 x + a0 ) dx    легко
считаются методом разложения. Следовательно,                                        нужно       научиться
интегрировать правильные рациональные дроби.


     Определение 6.3
     Рациональные дроби вида

         A                       Mx + N
                    ,                           ; A, M , N , a , p , q ∈ R ; n ∈ N ; p 2 − 4 q < 0 ;
     (x − a )   n
                        (x   2
                                 + px + q   )
                                            n



     называются простейшими (элементарными) рациональными дробями.


     Теорема 6.2
                                                       Pn ( x )
     Любая правильная рациональная дробь (n

Страницы