Неопределенный интеграл. Руцкова И.Г. - 63 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ОГУ | Оренбург

Составители: 

Рубрика: 

Т.е. если
() ( ) ( )
(
)( )
S;1,...,j ,0q4p ;m2
};0{N,...,,,..., R; q,p,...,q,p;a,...,a
,qxpx...qxpxax...axxQ
j
2
j
S
1j
j
k
1i
i
S1k1SS11k1
SS
2
11
2
k1m
S1
k1
=∀<−=+
∪∈∈
++⋅⋅++⋅−⋅⋅−=
∑∑
==
βα
ββαα
ββ
αα
то найдётся единственный набор, коэффициентов
R N,M...,,N;M;A...,,A...,,A...,,A
SSk1
S S1 11 1 k1 k 11 1
∈
ββαα
,
такой что
()
()
() ()
+
−
++
−
+
−
==
1
1
1
1
2
1
2 1
1
1 1
m
n
ax
A
...
ax
A
ax
A
xQ
xP
)x(R
α
α
() ()
...
ax
A
...
ax
A
ax
A
2
2
2
2
2
2
2 2
2
1 2
+
−
++
−
+
−
+
α
α
+
() ()
+
−
++
−
+
−
+
k
k
kl
k
2
k
2
k
k
1
kl
ax
A
...
ax
A
ax
A
α
α
()
()()
+
++
+
++
++
+
+
++
+
+
1
11
11
2
1 1
2
11
2
2 12 1
11
2
1 11 1
qxpx
NxM
...
qxpx
NxM
qxpx
NxM
β
ββ
()
()()
++
++
+
++
++
+
+
++
+
+ ...
qxpx
NxM
...
qxpx
NxM
qxpx
NxM
2
22
22
2
2 2
2
22
2
2 22 2
22
2
1 21 2
β
ββ
()
()()
.
qxpx
NxM
...
qxpx
NxM
qxpx
NxM
S
SS
SS
2
S S
2
SS
2
2 S2 S
SS
2
1 S1 S
β
ββ
++
+
++
++
+
+
++
+
+
Доказательство.
Доказательство данной теоремы выходит за пределы нашего курса. С ним
можно ознакомится в любом учебнике по высшей алгебре. Например, в
учебнике Курош А. Г. Курс высшей алгебры. - М.: Наука,1971, С.161-163.
63
     Т.е. если

                                                                 (
     Qm ( x ) = ( x − a1 )α1 ⋅ ... ⋅ ( x − a k )α k ⋅ x 2 + p1 x + q1                        )β   1
                                                                                                            (
                                                                                                      ⋅ ... ⋅ x 2 + p S x + q S       )β   S
                                                                                                                                               ,


     a1 ,..., a k ; p1 , q1 ,..., p S , q S ∈ R; α 1 ,...,α k , β 1 ,..., β S ∈ N ∪ { 0 };

      k                S
     ∑ α i + 2 ∑ β j = m;                  p 2j − 4 q j < 0 , ∀ j = 1,..., S;
     i =1             j =1


     то найдётся единственный набор, коэффициентов

     A1 1 , ..., A1 α1 , ..., Ak 1 , ..., Ak α k ; M 1 1 ; N 1 1 , ..., M S β S , N S β S ∈ R ,

     такой что

                 Pn ( x )   A          A1 2                A1 α 1
     R( x ) =             = 11 +                + ... +             +
                 Q m ( x ) x − a 1 ( x − a 1 )2         (x − a1 )α1

                   A2 1       A2 2                A2 α 2
              +          +             + ... +               + ... +
                  x − a 2 ( x − a 2 )2         (x − a 2 )α 2
                      Akl 1           Ak   2
                                                                     Ak   αk
              +                +                    + ... +                            +
                  x − ak           (x − a k )   2
                                                                (x − a kl )α k

                      M 11 x + N11                  M 12 x + N12                                M 1 β1 x + N 1 β1
             +                             +                                       + ... +                                    +
                  (x   2
                           + p1 x + q1     ) (x     2
                                                            + p1 x + q1   )2
                                                                                             (x   2
                                                                                                       + p1 x + q1   )
                                                                                                                     β1



                  M 21x + N21                       M 22 x + N22                                M 2 β2 x + N 2 β2
            +                              +                                       + ... +                                    + ... +
                 (x   2
                           + p2 x + q2   ) (x       2
                                                            + p2 x + q2    )  2
                                                                                             (x   2
                                                                                                       + p2 x + q2   )   β2



                      M S 1x + NS 1                     M S 2x + NS 2                                 M S βS x + N S βS
             +                                 +                                      + ... +
                  (x                       ) (x
                                                                                                                                  .
                       2
                           + pS x + qS                  2
                                                            + pS x + qS        )  2
                                                                                                (x    2
                                                                                                          + pS x + qS    )βS



     Доказательство.
     Доказательство данной теоремы выходит за пределы нашего курса. С ним
можно ознакомится в любом учебнике по высшей алгебре. Например, в
учебнике Курош А. Г. Курс высшей алгебры. - М.: Наука,1971, С.161-163.
                                                                                                                                           63

Страницы