Неопределенный интеграл. Руцкова И.Г. - 64 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ОГУ | Оренбург

Составители: 

Рубрика: 

Замечание. К сожалению, теорема 6.2 только сообщает нам, что
правильную рациональную дробь можно представить в виде простейших
рациональных дробей и показывает вид этого представления. Сами же значения
коэффициентов она нам подсказать не может. Т.е. для каждого конкретного
случая коэффициенты придётся определять отдельно. Наиболее
распространённые способы определения этих коэффициентов мы рассмотрим
позднее, при решении конкретных примеров
Таким образом, из теоремы 6.2 следует, что нужно
научиться
интегрировать простейшие (элементарные) рациональные дроби.
Интегрирование дробей вида
Nn R; a A, ,
)ax(
A
n
∈∈
−
обычно проблем
не вызывает:
достаточно воспользоваться методом подведения под знак
дифференциала и таблицей интегралов.
Теорема 6.3
1. .RaA, ;CaxlnAdx
a
x
A
∈+−=
−
∫
;
∀
X: X
⊂
R \ {a}.
2.
()
()
}1{\Nn,Ra,A,C
1n
ax
Adx
ax
A
1n
n
∈∈+
+−
−
=
−
+−
∫
;
∀
X: X
⊂
R \ {a}.
Доказательство.
1.
()
.CaxlnAaxd
a
x
1
Adx
a
x
A
+−=−
−
=
−
∫∫
2.
()
()()
(
)
}.1{\Nn,C
1n
ax
AaxdaxAdx
ax
A
1n
n
n
∈+
+−
−
=−−=
−
+−
−
∫∫
Задания для самостоятельного решения
6.1 (С)
.dx
3x
5
∫
−
6.2 (С) .dx
11x
1
∫
+
6.3 (С)
()
∫
+
.dx
5x
12
7
6.4 (С)
()
∫
−
.dx
12x
1
4
64
     Замечание. К сожалению, теорема 6.2 только сообщает нам, что
правильную рациональную дробь можно представить в виде простейших
рациональных дробей и показывает вид этого представления. Сами же значения
коэффициентов она нам подсказать не может. Т.е. для каждого конкретного
случая    коэффициенты     придётся    определять    отдельно.   Наиболее
распространённые способы определения этих коэффициентов мы рассмотрим
позднее, при решении конкретных примеров

     Таким образом, из     теоремы 6.2 следует, что нужно научиться
интегрировать простейшие (элементарные) рациональные дроби.

                                                         A
     Интегрирование дробей вида                              n
                                                                 , A, a ∈ R; n ∈ N обычно проблем
                                 (x − a )
не вызывает: достаточно воспользоваться методом подведения под знак
дифференциала и таблицей интегралов.


     Теорема 6.3
           A
     1. ∫     dx = A ln x − a + C ; A, a ∈ R . ; ∀ X: X ⊂ R \ {a}.
          x−a

                A               ( x − a )− n + 1
     2.   ∫ ( x − a )n   dx = A
                                       −n+1
                                                   + C , A, a ∈ R , n ∈ N \ { 1 } ; ∀ X: X ⊂ R \ {a}.


     Доказательство.

              A                    1
     1.   ∫ x − a dx = ∫ A x − a d(x − a ) = A ln x − a           + C.


                A
                         dx = ∫ A(x − a ) d(x − a ) = A
                                            −n          ( x − a )− n +1
     2.   ∫ (x − a )   n                                           − n +1
                                                                             + C, n ∈ N \ {1}.



     Задания для самостоятельного решения

                         5                                                       1
     6.1 (С)        ∫ x − 3dx.                                     6.2 (С)   ∫ x + 11dx.
                         12                                                          1
     6.3 (С)      ∫ (x + 5)7 dx.                                   6.4 (С)   ∫ (x − 12 )4 dx.


64

Страницы