Неопределенный интеграл. Руцкова И.Г. - 66 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ОГУ | Оренбург

Составители: 

Рубрика: 

()
=
+
+
−
+
+
+
=
++
−+
=
∫∫∫
dx
5x4x
30
dx
5x4x
4x2
2
15
dx
5x4x
304x2
2
15
222
(
)
(
)
()
()
.C2xarctg 305x4xln
2
15
12x
2xd
30
5x4x
5x4xd
2
15
2
22
2
++−++=
++
+
−
++
++
=
∫∫
Ответ: R.X:X ,C)2x(arctg 30|5x4x|ln
2
2
⊂∀++−++
15
Пример 6.4 Найти
∫
+
+
+
.dx
3x2x
7x6
2
Решение.
()
()
()
=
++
++
=
++=+
+=
′
++
=
++
+
∫∫
dx
3x2x
12x23
12x237x6
2x23x2x
dx
3x2x
7x6
2
2
2
(
)
()
()
=
++
+
+
++
++
=
++
+
++
+
=
∫∫∫∫
21x
1xd
3x2x
3x2xd
3
3x2x
dx
dx
3x2x
2x2
3
22
2
22
.C
2
1x
arctg
2
1
3x2xln3
2
+
+
+++=
Ответ:
.RX:X,C
2
1x
arctg
2
1
|3x2x|ln
2
⊂∀+
3
+
+++
Теорема 6.4
. R X :X ;0q4p;q,p,N,M
C
4
p
q
2
p
x
arctg
4
p
q
2
Mp
N
|qpxx|ln
2
M
dx
qpxx
NMx
2
22
2
2
⊂∀<−
+
−
+
−
−
+++=
++
+
∫
Доказательство.
66
        15
            (2x + 4 ) − 30      15      2x + 4            30
     =∫  2
             2
           x + 4x + 5
                           dx =
                                 2 ∫  2
                                     x + 4x + 5
                                                dx − ∫  2
                                                       x + 4x + 5
                                                                  dx =



     = ∫ 2
               (
      15 d x 2 + 4 x + 5
                         − 30∫
                              )  d (x + 2 )
                                            =
                                              15
                                                 ln x 2 + 4 x + 5 − 30 arctg(x + 2 ) + C.
       2  x + 4x + 5           (x + 2 ) + 1 2
                                       2



                   15
     Ответ:           ln | x 2 + 4 x + 5 | −30 arctg( x + 2) + C, ∀ X : X ⊂ R.
                    2


                                           6x + 7
     Пример 6.4          Найти        ∫ x 2 + 2x + 3 dx.

     Решение.


                       dx = (x                 )
                                            ′
            6x + 7                + 2 x + 3 = 2 x + 2 = 3(2x + 2 ) + 1dx =
                                  2
     ∫ x 2 + 2x + 3                                    ∫ x 2 + 2x + 3
                             6 x + 7 = 3(2 x + 2 ) + 1


     = 3∫
              2x + 2
                           dx + ∫
                                          dx
                                                         = 3∫
                                                                 (
                                                                d x 2 + 2x + 3   )+      d(x + 1)
            x 2 + 2x + 3              x 2 + 2x + 3               x 2 + 2x + 3
                                                                                      ∫ (x + 1)2 + 2 =

                                  1           x +1
     = 3 ln x 2 + 2 x + 3 +           arctg             + C.
                                  2                2

                                               1               x +1
     Ответ: 3 ln | x 2 + 2 x + 3 | +                   arctg          + C, ∀X : X ⊂ R.
                                               2                 2


     Теорема 6.4

                                                    Mp                                     p
                                                              x+N−
            Mx + N         M                        2                                      2
     ∫
                                   2
                      dx =   ln | x + px + q | +        arctg                                      +C
         x 2 + px + q      2                        p 2
                                                                                           p   2
                                                 q−           q−
                                                     4                                     4


     M , N , p , q; p 2 − 4 q < 0; ∀ X : X ⊂ R .

     Доказательство.
66

Страницы