Неопределенный интеграл. Руцкова И.Г. - 68 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ОГУ | Оренбург

Составители: 

Рубрика: 

() ()
(
)
=
+
−+
=
+
=
+
∫∫∫
dx
ax
xxa
a
1
dx
ax
a
a
1
ax
dx
n
22
222
2n
22
2
2n
22
() ()
(
) ()
∫∫∫∫
=
+
⋅
−
+
=
+
−
+
=
−−
dx
ax
xx
a
1
ax
dx
a
1
dx
ax
x
a
1
ax
dx
a
1
n
22
21n
22
2n
22
2
21n
22
2
()()
()
()
=
+
+−
=++=
+
=
+−− 1n
2222
n
22
n22
axd
1n2
1
axdax
2
1
dx
)ax(
x
()
()
(
)
∫∫
=
+
−
⋅+
+
=
+−
−
1n
22
21n
22
2
axd x
1n2
1
a
1
ax
dx
a
1
()
()
()
()
=+
+
−+
−
⋅+
+
=
∫∫
−
+−
−
C
ax
dx
axx
1n2
1
a
1
ax
dx
a
1
1n
22
1n
22
21n
22
2
()
()
()
(
)
=+
+
−
−+
+⋅−
=
∫
−−
C
ax
dx
1na2
1
a
1
ax1na2
x
1n
22
221n
222
()
()
()
()
.C
ax
dx
1na2
3n2
ax1na2
x
1n
22
21n
222
+
+
−
−
+
+⋅−
=
∫
−−
Рассмотрим применение этой формулы.
Пример 6.5 Найти
∫
+
.
)25x(
dx
32
Решение.
() ()
(
)
=+
+
⋅⋅
+
+⋅⋅
=
+
∫∫
1
2
2
2
2
3
2
С
25x
dx
2252
3
25x2252
x
25x
dx
68
                           dx                     1                        a2                                   1       a2 + x2 − x2
          ∫                               =               ∫                                  dx =                   ∫                                          dx =
              (x   2
                           +a    2 n
                                     )         a2             (x   2
                                                                           +a   2 n
                                                                                    )                       a2              (x   2
                                                                                                                                         +a       2 n
                                                                                                                                                      )
     1                     dx                         1                    x2                                   1                        dx                       1                 x⋅x
=         ∫                                   −           ∫                               dx =                      ∫                                         −        ∫                        dx =
     a2       (x   2
                       +a        )
                                2 n −1            a2              (x   2
                                                                           +a       2
                                                                                        )
                                                                                        n
                                                                                                            a2          (x   2
                                                                                                                                     +a   2 n −1
                                                                                                                                                  )               a2       (x   2
                                                                                                                                                                                    +a    )
                                                                                                                                                                                         2 n




      =
                           x
                                          dx =
                                                          1 2
                                                              (
                                                            x + a2                  ) d(x
                                                                                        −n              2
                                                                                                                + a2 =  )            1
                                                                                                                                           d x 2 + a 2
                                                                                                                                 2(− n + 1) 
                                                                                                                                                                  (                 )− n +1 
                                                                                                                                                                                           =
                                                                                                                                                                                           
              (x 2 + a 2 ) n                              2




          =       ∫
                   1                     dx
                                                              +
                                                                       1
                                                                            ⋅
                                                                                   1
                                                                                         ∫ x d x 2 + a 2          (                         )
                                                                                                                                              − n +1 
                                                                                                                                                          =
               a2           (x   2
                                         +a       )
                                              2 n −1               a2           2(n − 1)                                                                 


                                                                    1  2                                                                                              
          =
                   1
                       ∫
                                         dx
                                                              + 2⋅
                                                                   1
                                                                           x x + a 2                       (                    )
                                                                                                                                 − n +1
                                                                                                                                                  −∫
                                                                                                                                                                      dx
                                                                                                                                                                       +C=
               a2           (x   2
                                     +a        )
                                              2 n −1           a 2(n − 1)                                                                               ( 2
                                                                                                                                                           x +a 2 n −1 
                                                                                                                                                                          )
                                          x                                         1      1             dx
          =                                                                     +  2 − 2          ∫                                                                     +C=
               2a (n − 1) ⋅ x + a
                       2
                                          (       2
                                                                   )
                                                                  2 n −1
                                                                                   a   2a (n − 1)  x 2 + a 2                           (                       )
                                                                                                                                                                  n −1



                                          x                                             2n − 3                                   dx
                                                                                                (n − 1) ∫
          =                                                                     +                                                                         + C.
               2a (n − 1) ⋅ x + a
                       2
                                          (       2
                                                                   )
                                                              2 n −1                2a      2
                                                                                                                    (x   2
                                                                                                                             +a           )
                                                                                                                                         2 n −1




          Рассмотрим применение этой формулы.

                                                                                    dx
          Пример 6.5 Найти                                         ∫ ( x 2 + 25) 3 .

          Решение.

                       dx                                              x                                    3            dx
          ∫                               =                                                         +
                                                                                                        2 ⋅ 25 ⋅ 2 ∫ x 2 + 25
                                                                                                                                                                  + С1 =
              (x   2
                           + 25      )
                                     3
                                              2 ⋅ 25 ⋅ 2 x + 25        (   2
                                                                                            )   2
                                                                                                                                     (                     )  2




68

Страницы