Неопределенный интеграл. Руцкова И.Г. - 69 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ОГУ | Оренбург

Составители: 

Рубрика: 

() ()
=+
+
+
+
=
∫
1
2
2
2
2
С
25x
dx
100
3
25x100
x
()
=+
+
+
⋅⋅
+
+⋅⋅⋅
⋅+
+
=
∫
12
222
2
CC
25x
dx
1252
1
)25x(1252
x
100
3
25x100
x
()
()
=++
+⋅+
+
+
+
=
123
22
2
CC
100
3
C
5
x
arctg
5
1
5000
3
25x5000
x3
25x100
x
()
()
.C
5
x
arctg
25000
3
25x5000
x3
25x100
x
22
2
+⋅+
+
+
+
=
Ответ:
(
)
()
C
5
x
arctg
25000
3
25x5000
x3
25x100
x
22
2
+⋅+
+
+
+
,∀ X: X ⊂ R.
Замечание. Применяя формулу, доказанную в теореме 6.5, мы вводили
постоянные на каждом этапе применения формулы. В итоге, же получается
одна постоянная. Поэтому, на практике постоянную вводят обычно на
последнем шаге.
Теорема 6.6
∫∫
++
−+
++⋅−
=
++
+
− n21n2n2
)qpxx(
dx
2
Mp
N
)qpxx()n1(2
M
dx
)qpxx(
NMx
M, N, p, q
∈
R; n
∈
N \{1}; p
2
-4q<0;
∀
X : X
⊂
R .
Доказательство.
()
∫∫
∫∫
=
++
−+
++
++
=
=
++
−++
=+=
′
++=
++
+
n2n2
2
n2
2
n2
)qpxx(
dx
p
2
M
N
)qpxx(
)qxx(d
2
M
dx
)qpxx(
p
2
M
Npx2
2
M
px2)qpx(x dx
)qpxx(
NMx
69
                x                3      dx
     =                      +      ∫                         + С1 =
            (   2
         100 x + 25     )
                        2
                                         (
                                100 x 2 + 25         )   2



                x                3              x                1           dx          
                                                                                           
                                100  2 ⋅ 25 ⋅ 1 ⋅ ( x 2 + 25) 2 ⋅ 25 ⋅ 1 ∫ x 2 + 25
     =                      +      ⋅                         +                      + C 2  + C1 =
            (
         100 x 2 + 25   )
                        2
                                                                                           

                x                        3x                    3 1       x          3
     =                      +                            +       ⋅  arctg + C 3  +     C 2 + C1 =
            (
         100 x 2 + 25   )
                        2
                                     (
                                5000 x 2 + 25        )       5000  5     5         100

                x                        3x                    3          x
     =                      +                            +         ⋅ arctg + C.
            (
         100 x 2 + 25   )
                        2
                                     (
                                5000 x 2 + 25        )       25000        5

                            x                            3x                 3          x
                                             +                        +         ⋅ arctg + C ,∀ X: X ⊂ R.
                                                     (            )
     Ответ:
                        (
                    100 x 2 + 25     )
                                     2
                                                 5000 x 2 + 25            25000        5

     Замечание. Применяя формулу, доказанную в теореме 6.5, мы вводили
постоянные на каждом этапе применения формулы. В итоге, же получается
одна постоянная. Поэтому, на практике постоянную вводят обычно на
последнем шаге.


         Теорема 6.6
            Mx + N                                           M                       Mp       dx
     ∫ ( x 2 + px + q ) n dx = 2( 1 − n ) ⋅ ( x 2 + px + q ) n−1 +  N −                ∫ 2
                                                                                      2  ( x + px + q ) n

     M, N, p, q ∈ R; n∈ N \{1}; p2-4q<0; ∀ X : X ⊂ R .


     Доказательство.

                                                              M
                                                                (2x + p ) +  N − M p 
            Mx + N                                            2                    2 
     ∫ ( x 2 + px + q) n                                    ∫
                                 2
                         dx = (x   + px + q ) ′ = 2 x + p =                              dx =
                                                                     2            n
                                                                  ( x + px + q )


      M d(x 2 + x + q)         M          dx
     = ∫ 2              +  N −  p  ∫                 =
      2 ( x + px + q ) n       2  ( x 2 + px + q ) n




                                                                                                       69

Страницы