Неопределенный интеграл. Руцкова И.Г. - 70 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ОГУ | Оренбург

Составители: 

Рубрика: 

()
()
∫
++
−+
++
⋅
−
=
− n21n
2
)qpxx(
dx
p
2
M
N
qpxx
1
n12
M
.
Замечание.
Второе слагаемое в формуле, полученной в теореме 6.6,
обычно считают, используя результат теоремы 6.5,
выделив предварительно в
знаменателе полный квадрат и подведя
2
p
x + под знак дифференциала:
.
2
p
q
2
p
x
2
p
xd
)qpxx(
dx
n
2
2
n2
∫∫
−+
+
+
=
++
Пример 6.6 Найти
∫
++
+
.dx
)3x2x(
1x12
32
Решение.
()
=
++
−+⋅
=
−+⋅=+
+=
′
++
=
++
+
∫∫
dx
)3x2x(
11)2x2(6
112x261x12
2x2)3x2x(
dx
)3x2x(
1x12
32
2
32
()
∫∫∫∫
=
++
+
−
++
++
=
++
−
++
+⋅
=
3
2
32
2
3232
2)1x(
)1x(d 11
)3x2x(
)3x2x(d 6
)3x2x(
dx 11
dx
)3x2x(
)2x2(6
() ()
=
++
+
⋅
⋅⋅
+
++⋅⋅⋅
+
⋅−
−
++
=
∫
−
2
2
2
2
22
2)1x(
)1x(d
222
3
2)1x(222
1x
11
2
)3x2x(
6
()
−
++
+
−
++
+
−
++
−
=
++
+
⋅⋅
+
+
++⋅⋅⋅
+
⋅−
++
+
−
++
−
=
∫
)3x2x(32
)1x(33
)3x2x(8
)1x(11
)3x2x(
3
)
2)1x(
)1x(d
122
1
2)1x(122
1x
(
8
33
)3x2x(8
)1x(11
)3x2x(
3
222222
22222
.C
2
1x
arctg
2
1
32
33
+
+
⋅−
70
               M             1                          M         dx
        =            ⋅                            +  N − p ∫ 2               .
                        (
            2(1 − n ) x 2 + px + q        )n −1
                                                        2   ( x + px + q ) n




     Замечание. Второе слагаемое в формуле, полученной в теореме 6.6,
обычно считают, используя результат теоремы 6.5, выделив предварительно в
                                         p
знаменателе полный квадрат и подведя x + под знак дифференциала:
                                         2

                                                          p
                                                  d x +    
                   dx                                     2
        ∫ ( x 2 + px + q) n = ∫                                            n
                                                                               .
                                             p
                                                   2
                                                        p     2
                                       x +        
                                                 + q −
                                      
                                              2        2  


                                                  12 x + 1
       Пример 6.6             Найти       ∫ ( x 2 + 2x + 3) 3 dx.

       Решение.

               12 x + 1                 ( x 2 + 2 x + 3) ′ = 2 x + 2                    6 ⋅ (2 x + 2) − 11
        ∫ ( x 2 + 2x + 3) 3      dx =
                                        12x + 1 = 6 ⋅ (2 x + 2 ) − 11
                                                                                   =∫
                                                                                        ( x 2 + 2 x + 3) 3
                                                                                                           dx =


       6 ⋅ (2 x + 2)                      11 dx                  6 d ( x 2 + 2 x + 3)              11 d ( x + 1)
=∫                          dx − ∫                         =∫                               −∫                           =
     ( x 2 + 2 x + 3) 3              ( x 2 + 2 x + 3) 3          ( x 2 + 2 x + 3) 3              ((x + 1)   2
                                                                                                                +2   )
                                                                                                                     3




   ( x 2 + 2 x + 3) − 2                     x +1                              3          d ( x + 1)                
=6                      − 11 ⋅                                            +       ⋅∫                               =
           −2                  
                                                  (  2
                                2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ ( x + 1) + 2              )
                                                                       2     2⋅2⋅2           (
                                                                                      ( x + 1) 2 + 2            )
                                                                                                                2   
                                                                                                                    

                   −3                    11( x + 1)              33            x +1
        =                        −                           −      ⋅(                        +
            ( x 2 + 2 x + 3) 2       8( x 2 + 2 x + 3) 2                                (
                                                                 8 2 ⋅ 2 ⋅ 1 ⋅ ( x + 1) 2 + 2         )
               1         d ( x + 1)         −3               11( x + 1)         33( x + 1)
        +            ∫              ) =                −                   −
            2 ⋅ 2 ⋅ 1 ( x + 1) 2 + 2 ( x 2 + 2 x + 3) 2 8( x 2 + 2 x + 3) 2 32( x 2 + 2 x + 3)
                                                                                               −


            33 1       x +1
        −     ⋅  arctg      +C.
            32 2         2
70

Страницы