Неопределенный интеграл. Руцкова И.Г. - 61 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ОГУ | Оренбург

Составители: 

Рубрика: 

6 Интегрирование рациональных дробей
Определение 6.1
Функция
()
,axa...xaxaxP
01
1n
1n
n
nn
++++=
−
−
где
Ra,a...,,a,a
011nn
∈
−
, называется многочленом степени n с
действительными коэффициентами.
Определение 6.2
Функция
()
()
()
,
xQ
xP
xR
m
n
= где
()
R; a,a,...,a ,axa...xaxaxP
01n01
1n
1n
n
nn
∈++++=
−
−
Q
()
R; b,b,...,b ,bxb...xbxbx
01m01
1m
1m
m
mm
∈++++=
−
−
называется
рациональной дробью.
Определение 6.3
Рациональная дробь
()
(
)
()
xQ
xP
xR
m
n
= называется правильной, если n < m, в
противном случае
(n
≥
m), дробь называется неправильной.
Теорема 6.1
Любая неправильная рациональная дробь
()
(
)
()
xQ
xP
xR
m
n
= может быть
представлена в виде многочлена и правильной рациональной дроби,
причем это разложение единственно.
Т.е.
∃
!
() ()
()
()
.
xQ
xK
xTxR :mr0 ),x(K ),x(
m
r
mnrmn
+=<≤
−−
T
Доказательство.
Для доказательства этой теоремы достаточно воспользоваться теоремой о
делимости многочленов. Так как
m
n ≥ , то ∃ ! (существуют, причем
единственные), многочлены
(
)
x
mn−
T и
(
)
xK
r
, где 0≤ r < m , такие что
()
(
)
(
)
(
)
.xKxQxTxP
rmmnn
+
⋅
=
−
61
     6 Интегрирование рациональных дробей


     Определение 6.1
     Функция Pn ( x ) = a n x n + a n −1 x n −1 + ... + a1 x + a0 , где
     a n , a n −1 , ..., a1 , a0 ∈ R , называется многочленом степени n с
     действительными коэффициентами.


     Определение 6.2
                     P (x )
     Функция R( x ) = n       ,         где
                     Qm ( x )

      Pn ( x ) = a n x n + a n −1 x n −1 + ... + a1 x + a0 , a n ,..., a1 , a0 ∈ R;

      Qm ( x ) = bm x m + bm −1 x m −1 + ... + b1 x + b0 , bm ,..., b1 , b0 ∈ R;

     называется рациональной дробью.


     Определение 6.3
                                Pn ( x )
     Рациональная дробь R( x ) =         называется правильной, если n < m, в
                                Qm ( x )
      противном случае (n ≥ m), дробь называется неправильной.


     Теорема 6.1
                                                               Pn ( x )
     Любая неправильная рациональная дробь R( x ) =                      может быть
                                                              Qm ( x )
     представлена в виде многочлена и правильной рациональной дроби,
     причем это разложение единственно.
                                                                            K (x )
     Т.е. ∃ !   Tn − m ( x ), K r ( x ), 0 ≤ r < m : R( x ) = Tn − m ( x ) + r       .
                                                                            Qm ( x )

     Доказательство.

      Для доказательства этой теоремы достаточно воспользоваться теоремой о
делимости многочленов. Так как n ≥ m , то              ∃ ! (существуют, причем
единственные), многочлены Tn − m (x ) и K r (x ) , где 0≤ r < m , такие что

                          Pn (x ) = Tn − m (x ) ⋅ Q m (x ) + K r (x ).
                                                                                         61

Страницы