Неопределенный интеграл. Руцкова И.Г. - 56 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ОГУ | Оренбург

Составители: 

Рубрика: 

рассматривая его как равенство множеств. При рассмотрении последующих
примеров будем опираться на формулу (5.2).
Пример 5.2 Найти
∫
.
dxxe
x
Решение.
В отличие от предыдущей ситуации, в данном случае нужно ещё
подготовить интеграл
для применения метода интегрирования по частям, т.е.
выбрать u и dv. Для этого одну из функций нужно подвести под знак
дифференциала. Вопрос:
какую? Попробуем оба варианта.
1-й способ.
∫∫∫∫
−=−⋅=
= dxe
2
x
e
2
x
de
2
x
e
2
x
2
x
dedxxe
x
2
x
2
x
2
x
22
xx
.
Получили более сложную ситуацию.
2-й способ.
(
)
∫
∫
∫
+−=−== .Cexedxexeexddxxe
xxxxxx
Заметим, что при втором способе решения мы получили интеграл,
который стал проще исходного.
Ответ: R. X :X ,Ceex
xx
⊂∀+−⋅
Пример 5.3 Найти .
∫
⋅ dx xsinx
Решение.
()
(
)
.Cxsi
n
xcosx
dx xcosxcosxdxxcos)xcos(xxcosxddx xsinx
++⋅−=
=+−=−−−⋅=−=
∫∫∫∫
Ответ:
R.X :X ;Cxsinxcosx ⊂
∀
+
+⋅−
56
рассматривая его как равенство множеств. При рассмотрении последующих
примеров будем опираться на формулу (5.2).

                                     ∫ xe
                                            x
     Пример 5.2             Найти               dx .

     Решение.

     В отличие от предыдущей ситуации, в данном случае нужно ещё
подготовить интеграл для применения метода интегрирования по частям, т.е.
выбрать u и dv.    Для этого одну из функций нужно подвести под знак
дифференциала. Вопрос: какую? Попробуем оба варианта.

     1-й способ.

                      x2          x2 x     x2 x x2 x      x2 x
     ∫ xe dx = ∫ e d 2          =
                                   2 ⋅ e − ∫ 2 de = 2 e − ∫ 2 e dx .
            x           x

                                 

     Получили более сложную ситуацию.

     2-й способ.

     ∫ xe
            x
                            ( )
                dx = ∫ xd e x = xe x − ∫ e x dx = xe x − e x + C.

     Заметим, что при втором способе решения мы получили интеграл,
который стал проще исходного.

     Ответ: x ⋅ e x − e x + C, ∀ X : X ⊂ R.


     Пример 5.3 Найти ∫ x ⋅ sin x dx .

     Решение.

     ∫ x sin x dx =∫ xd(− cos x ) = x ⋅ (− cos x ) −∫ (− cos x )dx = − x cos x + ∫ cos x dx =

     = − x ⋅ cos x + sin x + C.


     Ответ: − x ⋅ cos x + sin x + C; ∀ X : X ⊂ R.



56

Страницы