Неопределенный интеграл. Руцкова И.Г. - 73 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ОГУ | Оренбург

Составители: 

Рубрика: 

Ответ: 16 ln|x-2| -11 ln|x-1|+C, ∀ X: X ⊂ R\{1,2}.
Замечание.
Иногда удобнее комбинировать оба способа.
Соответствующие примеры применения этого метода мы рассмотрим
позднее.
Пример 6.8 Найти
()()()
∫
−⋅+⋅−
−−
dx
1x4x3x
81x4x15
2
.
Решение.
()()()
1x
C
4x
B
3x
A
1x4x3x
81x4x15
2
−
+
+
+
−
=
−⋅+⋅−
−−
; A, B, C ∈R.
()()()
(
)
(
)
(
)
(
)( )(
()()()
)
1x4x3x
4x3xC1x3xB1x4xA
1x4x3x
81x4x15
2
−⋅+⋅−
+−+−⋅−+−⋅+
=
−⋅+⋅−
−−
()
(
)
(
)
(
)
(
)( )
4x3xC1x3xB1x4xA81x4x15
2
+−+−⋅−+−⋅+=−−
Для определения коэффициентов в данном случае рациональнее
использовать второй способ: сравнение значений многочленов.
=
=
=
⇒
=
=
−
=
−
−=
=
=
5B
3A
7C
B35175
A1442
C1070
4x
3x
1x
()()()
=
−
+
+
+
−
=
−⋅+⋅−
−−
∫∫
dx
1x
7
4x
5
3x
3
dx
1x4x3x
81x4x15
2
.C1xln74xln53xln3
+
−
+++−=
Ответ: 3ln|x-3|+5ln|x+4|+7ln|x-1|+C, ∀ X: X ⊂ R\{-4,1,3}.
Пример 6.9 Найти
∫
+
dx
1x
x
3
.
Решение.
73
    Ответ: 16 ln|x-2| -11 ln|x-1|+C, ∀ X: X ⊂ R\{1,2}.


     Замечание. Иногда  удобнее  комбинировать   оба  способа.
Соответствующие примеры применения этого метода мы рассмотрим
позднее.


                                      15x 2 − 4 x − 81
    Пример 6.8       Найти      ∫ (x − 3) ⋅ (x + 4) ⋅ (x − 1) dx .

    Решение.

                  15x 2 − 4 x − 81         A      B    C
                                         =     +     +      ; A, B, C ∈R.
              (x − 3) ⋅ (x + 4) ⋅ (x − 1) x − 3 x + 4 x − 1

        15x 2 − 4 x − 81           A(x + 4 ) ⋅ (x − 1) + B(x − 3) ⋅ (x − 1) + C(x − 3)(x + 4 )
                                 =
    (x − 3) ⋅ (x + 4 ) ⋅ (x − 1)                    (x − 3) ⋅ (x + 4 ) ⋅ (x − 1)

    15x 2 − 4 x − 81 = A(x + 4 ) ⋅ (x − 1) + B(x − 3) ⋅ (x − 1) + C(x − 3)(x + 4 )

     Для определения коэффициентов в данном случае рациональнее
использовать второй способ: сравнение значений многочленов.

                              x =1       − 70 = −10C       C = 7
                                                           
                              x=3         42 = 14A       ⇒ A = 3
                             x = −4 175 = 35B              B = 5
                                                           

          15x 2 − 4 x − 81                 3       5     7 
    ∫ (x − 3) ⋅ (x + 4 ) ⋅ (x − 1) dx = ∫  x − 3 x + 4 x − 1 dx =
                                                +     +


    = 3 ln x − 3 + 5 ln x + 4 + 7 ln x − 1 + C.

    Ответ: 3ln|x-3|+5ln|x+4|+7ln|x-1|+C, ∀ X: X ⊂ R\{-4,1,3}.


                                     x
    Пример 6.9 Найти            ∫ x 3 + 1 dx .
    Решение.

                                                                                             73

Страницы