Неопределенный интеграл. Руцкова И.Г. - 74 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ОГУ | Оренбург

Составители: 

Рубрика: 

Согласно теореме 6.2, данная рациональная дробь может быть
представлена в виде:
()
(
)
1xx
CBx
1x
A
1xx1x
x
1x
x
223
+−
+
+
+
=
+−⋅+
=
+
; А, В, С ∈ R.
Т.е.
(
)
(
)
(
)
()
(
)
1xx1x
1xCBx1xxA
1x
x
2
2
3
+−⋅+
++++−
=
+
.
Следовательно,
(
)
(
)
(
)
1xCBx1xxAx
2
++++−= .
Для определения коэффициентов А, В, С в данном случае лучше
применить комбинированный способ.
Заметим, что при х = –1 один из множителей в правой части
выписанного тождества обращается в нуль. При подстановке этого значения
получаем:
-1=3А, следовательно,
3
1
A −= .
С другой стороны, выделяя коэффициенты при степенях х в правой
части тождества, получаем:
()
(
)
(
)
CAxACBxBAx
2
++−+++= .
Поскольку, нам осталось определить только значения В и С, то
достаточно сравнить только коэффициенты при х
2
и х
0
:
0CA
0BA
x
x
0
2
=+
=+
Откуда следует, что
.
3
1
C,
3
1
==B
()
=
+−
+−
+
+
−=
+−
+
+
+
−
=
+
∫∫∫∫
dx
1xx
2
1
1x2
6
1
dx
1x
1
3
1
dx
1xx
3
1
x
3
1
1x
3
1
dx
1x
x
223
74
     Согласно теореме                6.2, данная             рациональная            дробь может   быть
представлена в виде:

       x                    x                      A    Bx + C
             =                                =       + 2                          А, В, С ∈ R.
                 (x + 1) ⋅ (x 2 − x + 1)
                                                                ;
     x3 +1                                        x +1 x − x +1

                        x
                                =
                                     (            )
                                    A x 2 − x + 1 + (Bx + C )(x + 1)
                                          (x + 1) ⋅ (x                )
     Т.е.                                                                      .
                     x3 + 1                              2
                                                             − x +1

     Следовательно,

                                          (                  )
                                    x = A x 2 − x + 1 + (Bx + C )(x + 1) .

     Для определения коэффициентов                               А, В, С   в        данном случае лучше
применить комбинированный способ.

      Заметим, что при     х = –1 один из множителей в правой части
выписанного тождества обращается в нуль. При подстановке этого значения
получаем:
                                                   1
                   -1=3А,    следовательно,  A=− .
                                                   3
      С другой стороны, выделяя коэффициенты при степенях х в правой
части тождества, получаем:

                                x = (A + B )x 2 + (B + C − A )x + (A + C ) .

     Поскольку, нам осталось определить только значения В и С, то
достаточно сравнить только коэффициенты при х2 и х0:

     x2 A + B = 0
     x0 A + C = 0
                                           1    1
     Откуда следует, что                 B= , C= .
                                           3    3

                      1       1     1                      1            1
         x
                      −         x+                           (2x − 1) +
                      3 + 3         3 dx = − 1   1
                                                      dx + ∫ 6 2          2 dx =
     ∫ x3 + 1 dx = ∫  x + 1 x 2 − x + 1        ∫
                                               3 x +1          x − x +1
                                       
                                       



74

Страницы