Неопределенный интеграл. Руцкова И.Г. - 75 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ОГУ | Оренбург

Составители: 

Рубрика: 

++−=
+
−
+
+−
−
++−=
∫∫
|1x|ln
3
1
1xx
dx
2
1
dx
1xx
1x2
6
1
1xln
3
1
22
()
.C
3
2
1
x2
arctg
3
2
2
1
|1xx|ln
6
1
|1x|ln
3
1
4
3
2
1
x
2
1
xd
2
1
1xx
1xxd
6
1
2
22
2
+
−
⋅+
++−++−=
+
−
−
+
+−
+−
+
∫∫
Ответ:
(
)
{-1}.\RX :X ,C
3
1x2
arctg
3
1
1xxln
6
1
1xln
3
1
2
⊂∀+
−
++−++−
Пример 6.10 Найти
(
)
(
)
dx
5x4x2xx
1x
22
∫
++⋅++
+
.
Решение.
Используя результаты теоремы 6.2, имеем:
(
)
(
)
5x4x
DCx
2xx
BAx
5x4x2xx
1x
2222
++
+
+
++
+
=
++⋅++
+
; А, В, С, D ∈ R.
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
5x4x2xx
2xxDCx5x4xBAx
5x4x2xx
1x
22
22
22
++⋅++
++⋅++++⋅+
=
++⋅++
+
.
Следовательно, коэффициенты можно найти из условия:
()
(
)
(
)
(
)
2xxDCx5x4xBAx1x
22
++⋅++++⋅+=+ .
В данном случае рациональнее применить метод сравнения
коэффициентов при одинаковой степени.
Перегруппировав слагаемые в правой части, получаем:
75
        1          1   2x − 1          1       dx            1
     = − ln x + 1 + ∫ 2          dx + ∫ 2               = − ln | x + 1 | +
        3          6 x − x +1           2 x − x +1           3
                                     1

     + ∫ 2
                (
       1 d x2 − x +1 1
                     + ∫
                           ) d 
                               
                                 x −   
                                      2
                                           = −
                                               1
                                                 ln | x + 1 | +
                                                                1
                                                                  ln | x 2 − x + 1 | +
       6 x − x +1     2             2         3                6
                                 1      3
                           x −       +
                                2      4


                      1
                2 x − 
      1 2             2
     + ⋅  arctg           + C.
      2 3            3

    Ответ:

      1          1
     − ln x + 1 + ln x 2 − x + 1 +
                                   1
                                      arctg
                                            (2x − 1) + C, ∀ X : X ⊂ R \ {-1}.
      3          6                  3           3


                                                         x +1
    Пример 6.10            Найти           ∫ (x 2 + x + 2) ⋅ (x 2 + 4x + 5) dx .

    Решение.

    Используя результаты теоремы 6.2, имеем:


                    x +1                        Ax + B                   Cx + D
                                           =                +                            А, В, С, D ∈ R.
     (x              )(                )
          2
                                                                                     ;
              + x + 2 ⋅ x 2 + 4x + 5           x2 + x + 2        x 2 + 4x + 5


                    x +1                     (Ax + B) ⋅ (x 2 + 4 x + 5) + (Cx + D ) ⋅ (x 2 + x + 2)
                                           =
     (x              )(                )                    (x                  )(                )
          2
                                                                                                    .
              + x + 2 ⋅ x 2 + 4x + 5                             2
                                                                         + x + 2 ⋅ x 2 + 4x + 5


    Следовательно, коэффициенты можно найти из условия:

                           (                   )
     x + 1 = (Ax + B) ⋅ x 2 + 4 x + 5 + (Cx + D ) ⋅ x 2 + x + 2 .    (               )
     В данном случае рациональнее применить метод                                                     сравнения
коэффициентов при одинаковой степени.
     Перегруппировав слагаемые в правой части, получаем:

                                                                                                             75

Страницы