Неопределенный интеграл. Руцкова И.Г. - 78 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ОГУ | Оренбург

Составители: 

Рубрика: 

Следовательно, данная рациональная дробь является неправильной, т.к.
степень числителя 4, а степень знаменателя 3. Поэтому, предварительно нужно
представить дробь в виде многочлена и правильной рациональной дроби.
Для того, чтобы осуществить это представление воспользуемся
правилом
деления многочлена на многочлен уголком.
45x
4x2x4x2
x2x2x-
-
2x
2xx2x
x2xx2x
x
2
23
23
23
234
4
−
++−−
++
−
−−+
−−+
−
Следовательно,
()
(
)
)1x()1x()2x(
4x5
2x
2xx2x
4x5
2x
2xx2x
4x5)2xx2x(2x
2xx2x
x
)1x(2x
x
2
23
2
23
223
23
4
2
4
+⋅−⋅+
−
+−=
−−+
−
+−=
=
−−+
−+−−+⋅−
=
−−+
=
−⋅+
Далее воспользуемся алгоритмом интегрирования правильных
рациональных дробей:
1x
C
1x
B
2x
A
)1x()1x()2x(
4x5
2
+
+
−
+
+
=
+⋅−⋅+
−
; A, B, C ∈ R.
()
(
)
(
)
(
)()(
()()()
)
1x1x2x
1x2xC1x2xB1x1xA
2xx2x
4x5
23
2
+⋅−⋅+
−⋅+⋅++⋅+⋅++⋅−⋅
=
−−+
−
Следовательно,
()()
(
)
(
)
(
)( )
1x2xC1x2xB1x1xA4x5
2
−⋅+⋅++⋅+⋅++⋅−⋅=− .
Значения коэффициентов А, В, С определим,
сравнивая значения
многочленов:
78
     Следовательно, данная рациональная дробь является неправильной, т.к.
степень числителя 4, а степень знаменателя 3. Поэтому, предварительно нужно
представить дробь в виде многочлена и правильной рациональной дроби.

     Для того, чтобы осуществить это представление воспользуемся правилом
деления многочлена на многочлен уголком.

            x4                                         x 3 + 2x 2 − x − 2
        −
            x 4 + 2x 3 − x 2 − 2x                      x−2

                          - 2x 3 + x 2 + 2 x
                     -
                         − 2x 3 − 4x 2 + 2x + 4
                                    5x 2 − 4

       Следовательно,

         x4                                  x4               ( x − 2 ) ⋅ ( x 3 + 2 x 2 − x − 2) + 5 x 2 − 4
                                =                         =                                                    =
(x + 2 ) ⋅ ( x   2
                         − 1)        3         2
                                    x + 2x − x − 2                          3       2
                                                                          x + 2x − x − 2


                          5x 2 − 4   5x 2 − 4
=x−2+ 3               =x−2+
     x + 2x 2 − x − 2       ( x + 2) ⋅ ( x − 1) ⋅ ( x + 1)


     Далее   воспользуемся                              алгоритмом              интегрирования         правильных
рациональных дробей:

                 5x 2 − 4                A    B     C
                                      =     +     +      ;                          A, B, C ∈ R.
        ( x + 2) ⋅ ( x − 1) ⋅ ( x + 1) x + 2 x − 1 x + 1


                 5x 2 − 4                    A ⋅ (x − 1) ⋅ (x + 1) + B ⋅ (x + 2 ) ⋅ (x + 1) + C ⋅ (x + 2 ) ⋅ (x − 1)
                                         =
        x 3 + 2x 2 − x − 2                                        (x + 2) ⋅ (x − 1) ⋅ (x + 1)
        Следовательно,

        5x 2 − 4 = A ⋅ (x − 1) ⋅ (x + 1) + B ⋅ (x + 2 ) ⋅ (x + 1) + C ⋅ (x + 2 ) ⋅ (x − 1) .

     Значения коэффициентов А, В, С определим, сравнивая значения
многочленов:


78

Страницы