Неопределенный интеграл. Руцкова И.Г. - 80 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ОГУ | Оренбург

Составители: 

Рубрика: 

Следовательно,
()
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)( )
DCx1x1x1x1xB1x1xA1
22
+⋅+−++⋅−⋅++⋅+⋅= .
Используя
комбинированный метод нахождения коэффициентов,
получаем:
,A41
,B41
1x
1x
=
−=
=
−=
т. е.
.
4
1
B,
4
1
A −==
С другой стороны, выделяя коэффициенты при степенях х, получаем:
()()
(
)
(
)
.DBAxCBAxDBAxCBA1
23
−−+−+++−+++=
Следовательно, для определения оставшихся значений C и D достаточно
сравнить коэффициенты при второй и третьей степени (можно выбрать и
другие варианты для сравнения):
0DBA
0CBA
x
x
2
3
=+−
=++
, откуда получаем:
2
1
D,0C −== .
=
+
−
+
+
−
+
−
+=
−
+
∫∫
dx
1x
2
1
1x
4
1
1x
4
1
2xdx
1x
1x
24
4
.Cx arctg1xln
2
1
1xln
2
1
x +−+−−+=
Ответ: {-1,1}.\RX:X ,Cx arctg1xln
2
1
1xln
2
1
x ⊂∀+−+−−+
Задания для самостоятельного решения
6.15 (С) .dx
8x12x6x
6x12x6x
23
234
∫
−
+
−
++−
6.16 (С) .dx
x4x5x
2x5
23
3
∫
+−
+
80
     Следовательно,

                       (       )                   (       )
     1 = A ⋅ (x + 1) ⋅ x 2 + 1 + B ⋅ (x − 1) ⋅ x 2 + 1 + (x − 1)(x + 1) ⋅ (Cx + D ) .

     Используя         комбинированный                 метод   нахождения   коэффициентов,
получаем:

      x = −1 1 = −4B,                                    1     1
                                    т. е.              A= , B=− .
      x = 1 1 = 4A,                                      4     4

     С другой стороны, выделяя коэффициенты при степенях х, получаем:

     1 = (A + B + C )x 3 + (A − B + D )x 2 + (A + B − C )x + (A − B − D ).

     Следовательно, для определения оставшихся значений C и D достаточно
сравнить коэффициенты при второй и третьей степени (можно выбрать и
другие варианты для сравнения):

     x3 A + B + C = 0                                 1
                      , откуда получаем: C = 0, D = −   .
     x2 A − B + D = 0                                 2

                           1          1        1 
         4                         −        −       
       x +1                   4        4        2
     ∫ x 4 − 1dx = x + 2∫  x − 1 + x + 1 + x 2 + 1 dx =
                          
                                                    
                                                    
            1           1
     = x + ln x − 1 − ln x + 1 − arctg x + C.
            2           2

                      1           1
     Ответ: x +         ln x − 1 − ln x + 1 − arctg x + C, ∀ X : X ⊂ R \ {-1,1}.
                      2           2


     Задания для самостоятельного решения

                    x 4 − 6x 3 + 12x 2 + 6
     6.15 (С)   ∫   x 3 − 6 x 2 + 12 x − 8
                                             dx.


                       5x 3 + 2
     6.16 (С)   ∫ x 3 − 5x 2 + 4xdx.


80

Страницы