Неопределенный интеграл. Руцкова И.Г. - 82 стр.

вопрос достаточно подробно освещается практически во всех полных курсах
интегрального исчисления (смотри список использованных источников). Мы
проиллюстрируем данный метод наиболее часто встречающимися ситуациями,
когда применение метода замены переменной является наиболее эффективным
(по сравнению с другими методами).


     Чаще всего метод замены переменной применяется при интегрировании
иррациональный функций.

                                   x −1
     Пример 7.1 Найти        ∫ 3 x + 1dx .

     Решение.

     Введём     t = 6 x , где x = t 6 = ϕ(t ) и ϕ : (0;+∞ ) → (0;+∞ ) .

                       x −1      t3 −1               t8 − t5
                  ∫3       dx = ∫ 2    ⋅ 6 t dt = 6 ∫ 2
                                            5
                                                             dt .
                       x +1      t +1                 t +1


                            t8 − t5                      t2 +1
                        −            6   4   3   2
                            t8 + t6 t − t − t + t + t −1
                                 - t6 − t5
                             -
                                 − t6 − t4
                                        - t5 + t4
                                    -
                                        − t5 − t3
                                             t4 + t3
                                         -
                                             t4 + t2
                                                   t3 − t2
                                               -
                                                   t3 + t
                                                         - t2 − t
                                                     -
                                                         − t2 −1
                                                           - t +1

     Следовательно,

82