Неопределенный интеграл. Руцкова И.Г. - 84 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ОГУ | Оренбург

Составители: 

Рубрика: 

C
7
)x1(6
2
)x1(3
5
)x1(6
8
)x1(3
6
7
3
2
3
5
3
8
+
+
+
+
+
+
−
+
= .
Ответ: C
7
)x1(6
2
)x1(3
5
)x1(6
8
)x1(3
6
7
3
2
3
5
3
8
+
+
+
+
+
+
−
+
, x∈(-1,+∞)
Пример 7. 3 Найти .
)1x(
dx
1x
1x
3
6
−
⋅
−
+
∫
Решение.
=
+∞∈
−
=
−
+−+
=−
−
+
=−
−
−
=
−
+−−
=
−
+
=−⋅=+=
+
−
+
=
=
−
⋅
−
+
∫
)(0, t,
1t
2
1t
1t1t
1
1t
1t
1x
dt
)1t(
t12
dt
)1t(
)1t(t6)1t(t6
dx
1t
1t
x,ttx1 x, t
1-x
1x
,
1x
1x
t
)1x(
dx
1x
1x
66
66
6
6
26
5
26
6565
6
6
666
6
3
6
.C
1x
1x
14
3
1x
1x
26
3
C
7
t
2
3
13
t
2
3
dt )tt(
2
3
dt )1t(t
2
3
dt
)1t(
t12
8
)1t(
t
6
7
6
13
713
61266
26
5
36
+
−
+
+
−
+
−=+⋅+⋅−=
=−−=−⋅−=
−
−
⋅
−
⋅=
∫∫∫
Ответ: C
1x
1x
14
3
1x
1x
26
3
6
7
6
13
+
−
+
+
−
+
−
; ∀X: X ⊂ ((-∞, -1) ∪ (1, +∞)).
Замечание. В примерах 7.1 – 7.3 для освобождения от иррациональности
мы вводили новую переменную так, чтобы вычисление интегралов в итоге
сводилось к интегрированию рациональных функций (в каждом из
рассмотренных случаев )
t
(ϕ - функция, рационально зависящая от t).
84
         33 (1 + x ) 8        63 (1 + x ) 5            33 (1 + x ) 2          66 (1 + x ) 7
     =                    −                        +                      +                    + C.
                8                    5                        2                     7

                    33 (1 + x ) 8        63 (1 + x ) 5            33 (1 + x ) 2         66 (1 + x ) 7
     Ответ:                          −                        +                    +                      + C , x∈(-1,+∞)
                          8                        5                      2                   7


                                                   x +1      dx
     Пример 7. 3 Найти                    ∫   6         ⋅
                                                   x − 1 ( x − 1) 3
                                                                    .


     Решение.

                                                   x +1 x +1 6                6   6     t6 +1
                                         t=   6        ,     = t , x +1= x ⋅ t − t , x = 6
                                                   x −1 x -1                            t −1


             x +1      dx                              6 t 5 ( t 6 − 1) − 6 t 5 ( t 6 + 1)             − 12 t 5
     ∫   6        ⋅
             x − 1 ( x − 1) 3
                              =           dx =
                                                                  ( t 6 − 1) 2
                                                                                              dt =
                                                                                                      ( t 6 − 1) 2
                                                                                                                     dt       =



                                                        t6 +1             t6 +1− t6 +1                  2
                                         x −1=                    −1=                             =            , t ∈ (0,+∞)
                                                        t6 −1                    t6 −1                t6 −1

          ( t 6 − 1) 3            − 12 t 5        
     =∫t⋅                     ⋅  6                dt = − 3 ∫ t 6 ⋅ ( t 6 − 1) dt = − 3 ∫ ( t 12 − t 6 ) dt =
                8                           2              2                           2
                                  ( t − 1)        

                                                                     13                           7
       3 t 13 3 t 7      3  x + 1                                         3  x + 1
     =− ⋅    + ⋅    +C=− 6                                              + 6         + C.
       2 13 2 7         26  x − 1                                        14  x − 1 

                                              13                          7
              3 6  x + 1                            3  x + 1
     Ответ: −                                     + 6         + C ; ∀X: X ⊂ ((-∞, -1) ∪ (1, +∞)).
              26  x − 1                            14  x − 1 

     Замечание. В примерах 7.1 – 7.3 для освобождения от иррациональности
мы вводили новую переменную так, чтобы вычисление интегралов в итоге
сводилось к интегрированию рациональных функций (в каждом из
рассмотренных случаев ϕ( t ) - функция, рационально зависящая от t).



84

Страницы