Неопределенный интеграл. Руцкова И.Г. - 86 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ОГУ | Оренбург

Составители: 

Рубрика: 

=
π
π
∈+=−=−
π
∈+−==
=⋅=
∫∫
∫∫
∫
),
2
(t,C
tsin5
1
tsin
)t(sind
5
1
dt
tsin
tcos
5
1
);
2
,0(t,C
tsin5
1
tsin
)t(sind
5
1
dt
tsin
tcos
5
1
dt
tcos
tsin5
tsin5
|tcos|
2
22
1
22
2
33
3
−−∞∈+
−
=+
−
+∞∈+
−
−
=+
−
−
=
π
π
∈+
−
π
∈+
−
−
=
)5,(x;C
5x5
|x|
C
x
5
15
1
);,5(x;C
5x5
|x|
C
x
5
15
1
),
2
(t,C
tcos15
1
);
2
,0(t,C
tcos15
1
2
2
2
2
1
2
1
2
2
2
1
2
Ответ:
)).,5()5,-((- X :X x,C
5x5
x
2
+∞∪∞⊂∈+
−
−
Пример 7.6 Найти
()
∫
++
.
xx25
dx
3
2
Решение.
()()
.C
5x2x4
1x
C
4
4)1x(
4
2
1x
C
1ttg4
tgt
Ctsin
4
1
tdtcos
4
1
dt
tcos
2
8
tcos
tcos
4
)ttg1(44)1x(
dt
tcos
2
dx );
2
,
2
(t,tgt21x
4)1x(
dx
xx25
dx
2
2
2
2
3
2
22
2
3
2
3
2
+
++
+
=+
++
+
=
=+
+
=+==⋅=
=
=+=++
=
ππ
−∈=+
=
++
=
++
∫∫
∫∫
Ответ:
.Rx,C
5x2x 4
1x
2
∈+
++
+
Замечание.
Выбор замены переменной в примерах 7.4 –7.6 был
обоснован
возможностью применения известных тригонометрических
формул, позволяющих избавится от иррациональностей.
86
                                 1 cos t           1 d(sin t )          1                     π
     | cos 3 t |   5 sin t       5 ∫     2
                                              dt  =
                                                    5 ∫    2
                                                                =  −
                                                                      5 sin t
                                                                              + C 1 , t ∈ ( 0,
                                                                                               2
                                                                                                 );
                                       sin t            sin t
=∫               ⋅         dt =                                                                    =
        3     3
      5 sin t cos t
                      2
                                 −  1    cos t         1  d (sin t )      1                   π
                                  5 ∫ sin 2 t
                                                 dt = − ∫             =         + C 2 , t ∈ ( , π)
                                                        5 sin 2 t 5 sin t                      2

                                           −1                                     −|x|
                                                      + C1 =                               + C1 ; x ∈ ( 5 ,+∞);
                                                     2                               2
       −1                       π           5             5                    x −5
                  + C1 , t ∈ (0, );   5 1 −     
                                2            x 
  5 1 − cos 2 t                                
=                                  =
        1                     π              1                                     |x|
                  + C 2 , t ∈ ( , π)                  + C2 =                               + C 2 ; x ∈ (−∞,− 5 )
  5 1 − cos 2 t              2                    2
                                                              5                      2
                                                                                    x −5
                                      5 1 −  5 
                                              x 
                                                 

                            x
      Ответ: −                       + C, x ∈ X : X ⊂ ((-∞,- 5 ) ∪ ( 5 ,+∞)).
                     5 x2 − 5

                                                         dx
      Пример 7.6            Найти       ∫                               .
                                            (5 + 2x + x )         2 3

      Решение.
                                                                                          π π                 2
                                                                    x + 1 = 2 tgt , t ∈ (− , ); dx =            2
                                                                                                                  dt
                dx                          dx                                            2 2             cos t
      ∫                         =∫                                =                                                  =
          (5 + 2x + x ) 2 3
                                      ((x + 1)   2
                                                     +4   )   3
                                                                    ( x + 1) 2 + 4 = 4(1 + tg 2 t ) =
                                                                                                        4
                                                                                                      cos 2 t
         cos 3 t     2          1             1                tgt
      =∫         ⋅         dt =   ∫ cos tdt =   sin t + C =            +C=
           8       cos 2 t      4             4                 2
                                                            4 tg t + 1
                 x +1
                   2                                 x +1
      =                          +C=                                    + C.
                                                     2
               ( x + 1) + 4 
                        2
                                            4 x + 2x + 5
          4                 
                      4     
                            

                        x +1
      Ответ:                            + C, x ∈ R.
                        2
                 4 x + 2x + 5

     Замечание. Выбор замены переменной в примерах 7.4 –7.6 был
обоснован возможностью применения известных тригонометрических
формул, позволяющих избавится от иррациональностей.

86

Страницы