Неопределенный интеграл. Руцкова И.Г. - 88 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ОГУ | Оренбург

Составители: 

Рубрика: 

7.3 (С) dx
1x
1x
3
∫
−
+
. 7.4 (С)
∫
−− dxxx23
2
.
7.5 (С)
∫
−1xx
dx
24
. 7.6 (С)
∫
+−
22
x1)x1(
dx
.
Метод замены переменной также очень часто используется при
интегрировании
тригонометрических функций. В нашем пособии мы
ограничимся рассмотрением только одной ситуации: когда применяется
универсальная тригонометрическая подстановка.
Универсальная тригонометрическая подстановка
2
x
tgt = применяется
при интегрировании функций вида R(sin x, cos x), т.е. функций рационально
зависящих от sin x и cos x.
Пример 7.7 Найти
∫
+
.
xcos53
dx
Решение.
∫
=
+
−
=
+
−
=
+
−
=
+
====
=
+
2
2
2
2
22
22
2
t1
t1
2
x
tg1
2
x
tg1
2
x
sin
2
x
cos
2
x
sin
2
x
cos
xcos
dt
t1
2
dx ,arctgt2x ,arctgt
2
x
,
2
x
tgt
xcos53
dx
.C
2
x
tg2
2
x
tg2
ln
4
1
C
t2
t2
ln
22
1
dt
t4
1
dt
t28
2
dt
)t1(5)t1(3
2
dt
t1
2
t1
t1
53
1
2
2222
2
2
+
−
+
=+
−
+
⋅
=
−
=
=
−
=
−++
=
+
⋅
+
−
⋅+
=
∫
∫∫∫
88
                          x +1
     7.3 (С)      ∫   3
                          x −1
                              dx .                                   7.4 (С)      ∫    3 − 2 x − x 2 dx .


                              dx                                                                dx
     7.5 (С)   ∫          4     2
                                        .                            7.6 (С)      ∫         2             2
                                                                                                              .
                      x       x −1                                                    (1 − x ) 1 + x


     Метод замены переменной также очень часто используется при
интегрировании тригонометрических функций. В нашем пособии мы
ограничимся рассмотрением только одной ситуации: когда применяется
универсальная тригонометрическая подстановка.
                                                           x
      Универсальная тригонометрическая подстановка t = tg     применяется
                                                           2
при интегрировании функций вида R(sin x, cos x), т.е. функций рационально
зависящих от sin x и cos x.


                                                  dx
     Пример 7.7 Найти                       ∫ 3 + 5 cos x .
     Решение.


                                       x x                              2
                              t = tg    , = arctgt, x = 2arctgt, dx =       dt
                                       2 2                            1+ t2
           dx
     ∫ 3 + 5 cos x =                                                                                  =
                                           x         x                         x
                                        cos 2− sin 2     1 − tg 2                       2
                              cos x =      2         2 =                       2 = 1− t
                                           x         x                         x 1+ t2
                                      cos 2 + sin 2      1 + tg 2
                                           2         2                         2

               1                    2                            2                              2
     =∫                        ⋅             dt = ∫                               dt = ∫              dt =
                  1− t2 1+ t2                         3(1 + t 2 ) + 5(1 − t 2 )            8 − 2t 2
          3+ 5⋅
                  1+ t2
                                                x
                                                                 2 + tg
          1          1    2+t       1           2 + C.
     =∫        dt =    ln     + C =   ln
        4 − t2      2⋅2 2− t        4           x
                                         2 − tg
                                                2



88

Страницы