Неопределенный интеграл. Руцкова И.Г. - 89 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ОГУ | Оренбург

Составители: 

Рубрика: 

Ответ: C
2
x
tg2
2
x
tg2
ln
4
1
+
−
+
. (Ограничения на х укажите самостоятельно).
Пример 7.8 Найти
∫
+
+
.
xcosxsin3
dx
Решение.
∫
=
+
=
+
=
+
⋅
=
+
=
+
===
=
++
2
222
2
2
2
t1
t2
2
x
tg1
2
x
tg2
2
x
cos
2
x
sin
2
x
cos
2
x
2sin
sinx
t1
t-1
cosx ,
t1
2dt
dx 2arctgt, x,
2
x
tgt
xcosxsin3
dx
∫∫
∫∫∫
+
+
=+
+
=
+
+
+
=
++
=
=
++
=
−+++
=
+
⋅
+
−
+
+
+
=
.C
7
1
2
x
tg2
arctg
7
2
C
7
2
1
t2
arctg
7
2
4
7
2
1
t
2
1
td
2tt
dt
4t2t2
dt2
t1t2)t1(3
dt2
dt
t1
2
t1
t1
t1
t2
3
1
22
2222
2
2
2
Ответ: .C
7
1
2
x
tg2
arctg
7
2
+
+
(Ограничения на х укажите самостоятельно)
Замечание. С теоретическими обоснованиями данного метода, а также с
другими заменами, применяемыми при интегрировании тригонометрических
функций, можно ознакомится по учебнику /7/ стр.431-434.
Задания для самостоятельного решения
7.7 (С)
∫
−
.dx
xsin1
xsin
7.8(С)
∫
+
+
.
3xsin2xcos
dx
89
                      x
                         2 + tg
           1          2 + C . (Ограничения на х укажите самостоятельно).
     Ответ: ln
           4          x
               2 − tg
                      2

                                             dx
     Пример 7.8 Найти               ∫ 3 + sin x + cos x .
     Решение.


                                         x                     2dt           1- t2
                                   t = tg , x = 2arctgt, dx =       , cosx =
                                         2                    1+ t2          1+ t2
                dx
     ∫ 3 + sin x + cos x =                                                                         =
                                               x       x          x
                                             2sin⋅ cos       2 tg
                                  sinx =       2       2 =        2 = 2t
                                              x          x          x 1+ t2
                                         sin 2 + cos 2     1 + tg 2
                                              2          2          2

                     1                   2                       2dt                         2dt
     =∫                              ⋅       dt = ∫                                 =∫                   =
                2t           1− t2 1+ t2              3(1 + t 2 ) + 2 t + 1 − t 2        2t 2 + 2t + 4
          3+             +
               1+ t2         1+ t2
                                     1      1                  x
                                d t + 2 t +                2 tg + 1
          dt                   2     2      2     2            2
     =∫ 2     =∫         2
                             =    arctg           +C=    arctg          + C.
       t +t+2       1    7    7            7         7           7
                 t +  +
                    2    4

                        x
                          +1      2 tg
              2         2
     Ответ:      arctg       + C.
               7        7
     (Ограничения на х укажите самостоятельно)

     Замечание. С теоретическими обоснованиями данного метода, а также с
другими заменами, применяемыми при интегрировании тригонометрических
функций, можно ознакомится по учебнику /7/ стр.431-434.

     Задания для самостоятельного решения

                    sin x                                                      dx
     7.7 (С)    ∫ 1 − sin x dx.                          7.8(С)      ∫ cos x + 2 sin x + 3 .
                                                                                                             89

Страницы