Неопределенный интеграл. Руцкова И.Г. - 87 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ОГУ | Оренбург

Составители: 

Рубрика: 

При введении новой переменной, всегда следует следить за областью
задания, новой переменной
: необходимо, чтобы выполнялись условия теоремы
7.1 и были справедливы тождественные преобразования, используемые при
нахождении интегралов
. При этом всегда следует помнить, что .|a|а
2
=
Замечание. Используя понятие функции, рационально зависящей от n
переменных: R (u
1
, u
2
, …, u
n
) (см. /7/, стр. 421), интегралы, рассмотренные в
примерах 7.1 –7.3, принято обозначать:
N. q ..., ,q Z; p ..., ,p R; d c, b, ,a
;dx
dcx
bax
..., ,
dcx
bax
,
dcx
bax
,xR
s1s1
q
p
q
p
q
p
s
s
2
2
1
1
∈∈∈
+
+
+
+
+
+
∫
Замену переменной выбирают из условия:
,
d
cx
bax
t
n
+
+
= n – наименьшее
общее кратное чисел q
1
, q
2
, … , q
S.
Интегралы, рассмотренные в примерах 7.4 - 7.6, принято обозначать:
∫
∈++ .Rc,b,a ,dx)cbxax,x(R
2
При интегрировании сначала выделяют полный квадрат, затем, в
зависимости от получившегося результата, одну из замен вида:
.
2a
b
-cm );
tcos
m
2a
b
(x
tsin
m
2a
b
x
);ctgt m
2a
b
(x tgt m
a2
b
x
);tcosm
2a
b
(x tsinm
a2
b
x
2
==+=+
=+=+
=+=+
Обоснование данных результатов, а также алгоритмы интегрирования
других иррациональных функций можно найти в /7/, стр. 421-431.
Задания для самостоятельного решения
7.1 (С)
∫
+
3
xx
dx
. 7.2 (С)
∫
+−+
++
dx
1x)1x(
21x
2
.
87
     При введении новой переменной, всегда следует следить за областью
задания, новой переменной: необходимо, чтобы выполнялись условия теоремы

7.1 и были справедливы тождественные преобразования, используемые при
нахождении интегралов. При этом всегда следует помнить, что                       а 2 =| a | .

     Замечание. Используя понятие функции, рационально зависящей от n
переменных: R (u1, u2, …, un) (см. /7/, стр. 421), интегралы, рассмотренные в
примерах 7.1 –7.3, принято обозначать:
                        p1                p2                    ps 
           ax + b  q1  ax + b  q 2                ax + b  qs 
     ∫   cx + d   cx + d 
       R   x ,              ,              , ..., 
                                                       cx + d
                                                                dx;
                                                                
         
                                                                   
     a, b, c, d ∈ R; p 1 , ..., p s ∈ Z; q 1 , ..., q s ∈ N.
                                                                      ax + b
     Замену переменной выбирают из условия: t n =                            , n – наименьшее
                                                                      cx + d
общее кратное чисел q1, q2, … , qS.

      Интегралы, рассмотренные в примерах 7.4 - 7.6, принято обозначать:
       ∫ R ( x,   ax 2 + bx + c )dx, a, b, c ∈ R .
     При интегрировании сначала выделяют полный квадрат, затем, в
зависимости от получившегося результата, одну из замен вида:

            b                 b
       x+      = m sin t (x +    = m cos t );
            2a                2a

            b               b
       x+      = m tgt (x +    = m ctgt );
            2a              2a

                                                                2
          b   m                  b   m                   b 
       x+   =               (x +   =      );    m=    c-  .
          2a sin t               2a cos t                2a 
     Обоснование данных результатов, а также алгоритмы интегрирования
других иррациональных функций можно найти в /7/, стр. 421-431.



      Задания для самостоятельного решения

                       dx                                              x +1 + 2
      7.1 (С)     ∫   x +3 x
                               .                     7.2 (С)   ∫ ( x + 1) 2 −   x +1
                                                                                       dx .


                                                                                                 87

Страницы