Неопределенный интеграл. Руцкова И.Г. - 85 стр.

     Иногда удобнее переходить к интегрированию тригонометрических
функций.

                                                    dx
     Пример 7.4 Найти                   ∫       2            2
                                                                 .
                                            x       4−x

     Решение.

     Введём                x = 2 cos t , t ∈ (0, π) .

     dx = 2 ⋅ (− sin t )dt , 4 − x 2 = 4 − 4 cos 2 t = 4 sin 2 t

                 dx                2(− sin t )dt                         2 sin tdt
     ∫       2         2
                           =∫
                                    2                    2
                                                             = −∫         2
                                                                     4 cos t ⋅ 2 sin t
                                                                                         =
         x       4−x            4 cos t ⋅ 4 sin t

                                      x
                                         = cos t
         1     1          1           2                1           x
     =− ∫          dt = −   tgt + C =              = −  tg  arccos   + C.
         4 cos 2 t        4                      x     4           2
                                      t = arccos
                                                 2
                            π      π
     Здесь t∈T : T ⊂ ((0, ) ∪ ( , π)) .
                            2      2
     Ответ в данном примере можно оставлять либо в таком виде, либо
используя тождественные преобразования тригонометрических выражений,
упростить его:
                                                                                     2
                                                x
                                            1 −  
 1             sin t       1 − cos 2 t          2      4 − x2
− tgt + C = −         +C=−             +C=−         +C=−        + C.
 4            4 cos t       4 cos t              x        4x
                                              4⋅
                                                 2

                           4 − x2
     Ответ: −                     + C, x ∈ X : X ⊂ ((-2,0) ∪ (0, 2)).
                            4x

                                                    dx
     Пример 7.5             Найти       ∫                    .
                                            ( x 2 − 5) 3
     Решение.

                 dx            5           5 sin t             5(1 − cos 2 t ) 5 sin 2 t
     ∫
                                                        2
                        = x=       ; dx =     2
                                                   dt; x − 5 =        2
                                                                              =     2
                                                                                         =
                2
             ( x − 5) 3      cos t        cos   t                 cos   t       cos   t


                                                                                             85