Неопределенный интеграл. Руцкова И.Г. - 83 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ОГУ | Оренбург

Составители: 

Рубрика: 

=
+
+−
+−++−−=
+
−
=
+
−
∫∫∫
dt
1t
1t
1ttttt6dt
1t
tt
6dx
1x
1x
2
2346
2
58
3
=
+
+
+
−−++−−=
∫∫
1
t
dt
6
1
t
tdt
6t6
2
t
6
3
t
6
4
t
6
5
t
6
7
t
6
22
23457
(
)
=+
+
+
−−++−−=
∫
t arctg 6
1
t
1td
3t6t3t2t
2
3
t
5
6
t
7
6
2
2
23457
=+++−−++−−= Ct arctg 61tln3t6t3t2t
2
3
t
5
6
t
7
6
223457
.Cxarctg61xln3x6x3x2x
2
3
x
5
6
x
7
6
6
31613121326567
+++−−++−−=
Ответ:
),0(x
,Cxarctg 6|1x|ln3x6x3x2
2
x 3
5
x 6
7
x 6
6363
3
2
6
5
6
7
+∞∈
+++−−++−−
Пример 7.2 Найти
∫
+
++
.dx
x1
x1x
3
2
Решение.
Решение данного примера запишем более коротко: так, как это принято
на практике:
()
=+++−=
=++−=++−⋅=
=⋅
+−
=
+∞∈
=
ϕ=−=
+=
=
+
++
∫∫
∫∫
C
7
t6
4
t6
10
t12
16
t6
dt)ttt2t(6dt)t1t2t(t6
dtt6
t
t1t
),0(t
dtt6dx
)t(1tx
x1t
dx
x1
x1x
741016
6391536123
5
2
3
2
6
5
6
6
3
2
83
              x −1        t8 − t5                                          − t + 1
         ∫3   x +1
                  dx = 6 ∫ 2
                           t +1
                                  dt = 6 ∫  t 6 − t 4 − t 3 + t 2 + t − 1 + 2
                                                                            t +1
                                                                                   dt =


             t7    t5  t4  t3  t2         tdt       dt
     =6         − 6 − 6 + 6 + 6 − 6t − 6∫ 2   + 6∫ 2   =
             7     5   4   3   2         t +1     t +1


     =
         6 7 6 5 3 4                          d t2 +1
           t − t − t + 2 t 3 + 3t 2 − 6 t − 3∫ 2      + 6 arctg t =
                                                                          (           )
         7    5   2                            t +1

         6 7 6 5 3 4
     =     t − t − t + 2 t 3 + 3t 2 − 6 t − 3 ln t 2 + 1 + 6 arctg t + C =
         7    5   2

         6 76 6 56 3 23
     =     x − x − x + 2 x 1 2 + 3x 1 3 − 6 x 1 6 − 3 ln x 1 3 + 1 + 6arctg6 x + C.
         7    5    2

     Ответ:

         6               6          3
     6 x7 6 x5 3 x2
             −    −   + 2 x + 33 x − 66 x − 3 ln | 3 x + 1 | +6 arctg6 x + C,
        7       5   2
     x ∈ (0,+∞)

                                            x2 + 1+ x
     Пример 7.2 Найти                   ∫     3
                                                  1+ x
                                                           dx.


     Решение.

      Решение данного примера запишем более коротко: так, как это принято
на практике:
                      t = 6 1+ x
         x2 + 1+ x                  x = t 6 − 1 = ϕ( t )         (t   6
                                                                          −1 + t3 )
                                                                                  2

     ∫        3
                  1+ x
                             dx =                          =∫                     2
                                                                                          ⋅ 6 t 5 dt =
                                    dx = 6 t 5 dt                             t
                                    t ∈ (0,+∞)


     = ∫ 6 t 3 ⋅ ( t 12 − 2t 6 + 1 + t 3 )dt = 6 ∫ ( t 15 − 2 t 9 + t 3 + t 6 )dt =


         6 t 16 12t 10 6 t 4 6 t 7
     =         −      +     +      +C=
          16     10     4     7

                                                                                                         83

Страницы