Неопределенный интеграл. Руцкова И.Г. - 81 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ОГУ | Оренбург

Составители: 

Рубрика: 

7 Метод замены переменной
Теорема 7.1
Если f(x) определена на X,
)
t
(
ϕ
определена на T, причём,
1) X
T
: →
ϕ
;
2)
() ( )
TDt ∈
ϕ
и
()
Tt,0t
∈
∀≠
′
ϕ
;
3)
()
t
ϕ
строго монотонна на T;
4)
()()()
(
)
∫
+=
′
⋅∃ CtFdtttf
ϕϕ
на множестве Т;
тогда,
()
(
)
(
)
∫
+=∃
−
CxFdxxf
1
ϕ
на множестве Х.
Доказательство.
Из условий 2) и 3) следует, что для функции )
(
ϕ
существует обратная
функция
, причём она является дифференцируемой на X и
()
x
1−
ϕ
()
(
)
()
X. x,
t
1
x
1
∈
ϕ
′
=
′
ϕ
−
Следовательно,
()
(
)
.)x()t(F)x(t))x((F
111
′
ϕ⋅
′
=ϕ==
′
ϕ
−−−
Учитывая условие 4) теоремы 7.1 получаем, что ).t())t((f)t(F ϕ
′
⋅ϕ=
′
Таким образом,
()
).x(f))t((f
)t(
1
)t())t((f))x((F
1
=ϕ=
ϕ
′
⋅ϕ
′
⋅ϕ=
′
ϕ
−
Т.е.
(
)
)x(
1−
ϕF является первообразной для f(x) на X .
Замечание. Многие из тех интегралов, которые мы приводили в качестве
примеров применения метода подведения под знак дифференциала (смотри
п.4.2), можно найти, используя и метод замены переменной.
В данном пособии мы не будем описывать все типы интегралов, которые
целесообразно считать, опираясь на метод замены переменной
, так как этот
81
     7 Метод замены переменной


     Теорема 7.1
     Если f(x) определена на X, ϕ ( t ) определена на T, причём,

     1) ϕ : T → X ;

     2) ϕ (t ) ∈ D(T ) и ϕ ′(t ) ≠ 0 , ∀t ∈ T ;

     3) ϕ (t ) строго монотонна на T;

     4) ∃   ∫ f (ϕ (t )) ⋅ ϕ ′(t )dt = F (t ) + C               на множестве Т;


                       ∫ f (x )dx = F (ϕ (x )) + C
                                        −1
     тогда,        ∃                                                      на множестве Х.

     Доказательство.

     Из условий 2) и 3) следует, что для функции ϕ( t ) существует обратная
функция ϕ −1 (x ) , причём она является дифференцируемой на X и


                                              (ϕ   −1
                                                        (x ))
                                                            ′
                                                                =
                                                                     1
                                                                    ϕ′(t )
                                                                           , x ∈ X.

     Следовательно,

                            (F(ϕ   −1         ′
                                               )                                      (
                                                                                      ′
                                        ( x )) = t = ϕ −1 ( x ) = F′( t ) ⋅ ϕ −1 ( x ) .          )
     Учитывая условие 4) теоремы 7.1 получаем, что                                        F′( t ) = f (ϕ( t )) ⋅ ϕ′( t ).


     Таким образом,           (F(ϕ      −1
                                                   )
                                                   ′
                                             ( x )) = f (ϕ( t )) ⋅ ϕ′( t ) ⋅
                                                                              1
                                                                             ϕ′( t )
                                                                                     = f (ϕ( t )) = f ( x ).

     Т.е.     (         )
            F ϕ −1 ( x ) является первообразной для f(x) на X .


      Замечание. Многие из тех интегралов, которые мы приводили в качестве
примеров применения метода подведения под знак дифференциала (смотри
п.4.2), можно найти, используя и метод замены переменной.

     В данном пособии мы не будем описывать все типы интегралов, которые
целесообразно считать, опираясь на метод замены переменной, так как этот

                                                                                                                            81

Страницы