Неопределенный интеграл. Руцкова И.Г. - 79 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ОГУ | Оренбург

Составители: 

Рубрика: 

3A16
C21
6B1
2x
1x
1x
=
−=
=
−=
−=
=
.
Из данных условий получаем, что
2
1
C ,
6
1
B ,
3
16
A −===
.
Следовательно,
()
()
=
+
−
+
−
+
+
+−=
−⋅+
∫∫
dx
1x
2
1
1x
6
1
2x
3
16
2xdx
1xx2
x
2
4
⋅++−−+++−= C1x
2
1
1xln
6
1
2xln
3
16
x2
2
x
2
Ответ:
}.1,1,2{\RX:X,C1x
2
1
1xln
6
1
2xln
3
16
x2
2
x
2
−−⊂∀++−−+++−
Замечание. Решая пример 6.11, мы выделяли правильную
рациональную дробь, используя метод деления многочлена на многочлен
уголком. В некоторых случаях бывает проще воспользоваться тождественными
преобразованиями выражения, стоящего в числителе соответствующей дроби.
Пример 6. 12 Найти
∫
−
+
.dx
1x
1x
4
4
Решение.
∫∫∫∫
−
+=
−
+=
−
+−
=
−
+
.dx
1x
1
2xdx
1x
2
1dx
1x
21x
dx
1x
1x
444
4
4
4
()()
(
)
1x
DCx
1x
B
1x
A
1x1x1x
1
1x
1
224
+
+
+
+
+
−
=
+⋅+⋅−
=
−
; A, B, C, D ∈ R.
()
(
)
(
)
(
)
(
)( )( )
()()
(
)
1x1x1x
DCx1x1x1x1xB1x1xA
1x
1
2
22
4
+⋅+⋅−
+⋅+⋅−++⋅−⋅++⋅+⋅
=
−
.
79
       x =1          1 = 6B
      x = −1         1 = −2C .
      x = −2         16 = 3A

                                                             16     1          1
     Из данных условий получаем, что                    A=      , B= ,      C=− .
                                                              3     6          2
     Следовательно,
                                            16       1        1 
                 4                                         − 
              x                               3       6        2
     ∫ (2 + x ) ⋅ x 2 − 1 dx = ∫  x − 2 + x + 2 + x − 1 + x + 1 dx =
                 (        )                                       
                                                                  

       x2        16         1          1
     =    − 2 x + ln x + 2 + ln x − 1 − x + 1 + C ⋅
        2         3         6          2

     Ответ:
      x2        16         1          1
         − 2 x + ln x + 2 + ln x − 1 − x + 1 + C, ∀X : X ⊂ R \ {−2,−1,1}.
      2          3         6          2

     Замечание.     Решая пример 6.11,        мы выделяли правильную
рациональную дробь, используя метод деления многочлена на многочлен
уголком. В некоторых случаях бывает проще воспользоваться тождественными
преобразованиями выражения, стоящего в числителе соответствующей дроби.

                                        x4 +1
     Пример 6. 12          Найти      ∫ x 4 − 1 dx.
     Решение.

       x4 +1        x4 −1+ 2                2                    1
     ∫ x 4 − 1dx = ∫ x 4 − 1 dx = ∫ 1 + x 4 − 1 dx = x + 2∫ x 4 − 1 dx.

       1                      1                       A    B   Cx + D
             =                                   =       +    + 2     ; A, B, C, D ∈ R.
     x4 −1       (x − 1) ⋅ (x + 1) ⋅ (x 2 + 1)       x −1 x +1 x +1


       1
             =
                              (        )                 (       )
                 A ⋅ (x + 1) ⋅ x 2 + 1 + B ⋅ (x − 1) ⋅ x 2 + 1 + (x − 1) ⋅ (x + 1) ⋅ (Cx + D )
                                            (x − 1) ⋅ (x + 1) ⋅ (x 2 + 1)
                                                                                                 .
     x4 −1


                                                                                                     79

Страницы